知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•包头二模）如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2
2
，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：
（1）求证：BO⊥DO；
（2）求平面DOB分割三棱柱AED-BFC所得上部分的体积．

难度：较易

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2．（2016•哈尔滨校级二模）棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，沿平面A₁ACC₁将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线A₁C的平面A₁CM与线段BB₁交于点M．
（Ⅰ）当M与B₁重合时，求证：MC⊥AC₁；
（Ⅱ）当平面A₁CM⊥平面A₁ACC₁时，求平面A₁CM分几何体所得两部分体积之比．

难度：中等

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3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁，
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥D-AA₁C₁的体积．

难度：较易

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4．（2016•威海二模）已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AD=DD₁=2，BC=DC=1，DC⊥BC，AD∥BC，E，F分别为CC₁，DD₁的中点．
（I）求证：BF⊥A₁B₁；
（Ⅱ）求证：面BEF∥面AD₁C₁．

难度：中等

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5．（2016•浦东新区三模）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）求三棱锥E-PAD的体积；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．

难度：中等

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6．如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=
1
2
AD=2，∠A=60°，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点．将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，使得平面A₁BE⊥平面BCDE（如图2）．
（Ⅰ）求证：A₁O⊥CE；
（Ⅱ）求直线A₁B与平面A₁CE所成角的正弦值；
（Ⅲ）侧棱A₁C上是否存在点P，使得BP∥平面A₁OF？若存在，求出
A1P
A1C
的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．（2016•云南一模）如图，在三棱锥A-BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．
（I）求证：AE⊥BD；
（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B-AC-D的正弦值．

难度：中等

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8．如图，ABCD是平行四边形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，BD=PD=2EA=4，AD=3，AB=5．F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．
（1）求证：DB⊥GH；
（2）求平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值．

难度：中等

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9．（2016•甘肃一模）如图，在三棱锥P-ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B-PA-C为120°．
（I）证明：FG⊥AH；
（Ⅱ）求二面角A-CP-B的余弦值．

难度：中等

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10．（2016•广元二模）如图，三棱锥P-ABC中，PA=PC，AB=BC，E，F分别是PA，AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：EF⊥AC．

难度：中等

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