知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•包头二模）如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2
2
，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：
（1）求证：BO⊥DO；
（2）求平面DOB分割三棱柱AED-BFC所得上部分的体积．

难度：较易

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2．（2016•南通模拟）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
（1）求三棱锥C-DD₁E的体积；
（2）求证：D₁E⊥A₁D．

难度：较易

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3．（2016•哈尔滨校级二模）棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，沿平面A₁ACC₁将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线A₁C的平面A₁CM与线段BB₁交于点M．
（Ⅰ）当M与B₁重合时，求证：MC⊥AC₁；
（Ⅱ）当平面A₁CM⊥平面A₁ACC₁时，求平面A₁CM分几何体所得两部分体积之比．

难度：中等

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4．（2016•威海二模）已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AD=DD₁=2，BC=DC=1，DC⊥BC，AD∥BC，E，F分别为CC₁，DD₁的中点．
（I）求证：BF⊥A₁B₁；
（Ⅱ）求证：面BEF∥面AD₁C₁．

难度：中等

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5．如图，ABCD是平行四边形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，BD=PD=2EA=4，AD=3，AB=5．F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．
（1）求证：DB⊥GH；
（2）求平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值．

难度：中等

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6．（2016•乌鲁木齐模拟）如图，三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，E为AC中点，EF⊥AP，垂足为F．
（I）求证：AP⊥FB；
（Ⅱ）求多面体PFBCE的体积．

难度：中等

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7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=2，BC=•=1，D是棱A₁B₁上一点．
（Ⅰ）证明：BC⊥AD；
（Ⅱ）求三棱锥B-ACD的体积．

难度：较易

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8．（2015秋•新疆校级期末）如图，四边形ABCD为矩形，且AB=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，E、F为BC、AB的中点．
（1）证明：PE⊥DE；
（2）若在线段PA上存在点G，使得FG∥平面PDE．试确定点G的位置．

难度：中等

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9．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一动点．
（1）求证：BD⊥FG
（2）在线段AC上是否存在一点G使FG∥平面PBD，并说明理由．

难度：较易

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10．如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=SA=SC，M为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求点B到平面SCM的距离．

难度：中等

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