知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•泰安二模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分别为CC₁，A₁B的中点，A₁D⊥CC₁，△AA₁B是边长为2的正三角形，A₁D=2，BC=1．
（1）证明：MD∥平面ABC；
（2）证明：BC⊥平面ABB₁A₁．

难度：中等

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2．（2016春•亭湖区校级期中）如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，M为PC中点．
（1）求证：BC∥平面PAD；
（2）求证：AP∥平面MBD．

难度：中等

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3．（2016•南通模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点．
（1）求证：PC∥平面BMN；
（2）求证：平面BMN⊥平面PAC．

难度：中等

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4．（2016•湘西州二模）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求证：EF⊥平面PBC．

难度：中等

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5．如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=
1
2
AD=2，∠A=60°，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点．将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，使得平面A₁BE⊥平面BCDE（如图2）．
（Ⅰ）求证：A₁O⊥CE；
（Ⅱ）求直线A₁B与平面A₁CE所成角的正弦值；
（Ⅲ）侧棱A₁C上是否存在点P，使得BP∥平面A₁OF？若存在，求出
A1P
A1C
的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．（2016•江西模拟）如图，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA₁=6，且A₁A⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD₁，BC上，BQ=4．
（1）若DP=
2
3
DD₁，证明：PQ∥平面ABB₁A₁；
（2）若P是D₁D的中点，证明：AB₁⊥平面PBC．

难度：中等

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7．（2015秋•北京校级期中）如图，在四棱锥S-ABCD中，所有侧棱长与底面边长均相等，E为SC的中点．求证：
（Ⅰ） SA∥平面BDE；
（Ⅱ） SC⊥BD．

难度：中等

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8．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC与F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面BCD；
（Ⅱ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE．

难度：较易

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10．（2015秋•北京校级期中）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD．E，F分别为底边AB和侧棱PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：EF⊥FD．

难度：中等

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