知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•云南一模）如图，在三棱锥A-BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥BD；
（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求三棱锥D-ABC的体积．

难度：中等

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2．（2015秋•莆田校级月考）如图，四边形BCC₁B₁是圆柱的轴截面．AA₁是圆柱的一条母线，已知AB=4，AC=2
2
，AA₁=3．
（1）求圆柱的表面积．
（2）求证：BA₁⊥AC．

难度：中等

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3．设P是△ABC外一点，则使点P在此三角形所在平面内的射影是△ABC的外心的条件为．

难度：中等

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4．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO=2
2
．
（1）求证PO⊥AC；
（2）求二面角P-AC-E的平面角的余弦值．

难度：中等

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5．如图（甲），等腰直角三角形的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于点E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（乙））
（Ⅰ）求证：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，PD=
2
，求四棱锥P-DEBC的体积．

难度：中等

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6．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2，AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（1）求该多面体的体积；
（2）求证：BD⊥EG；
（3）在BD上是否存在一点M，使EM∥面DFC，若存在，求出BM的长，若不存在，说明理由．

难度：中等

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7．如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是棱CD上的动点，G为C₁D&₁的中点，H为A₁G的中点．
（1）当点F与点D重合时，求证：EF⊥AH；
（2）设二面角C₁-EF-C的大小为θ，试确定F点的位置，使得cosθ=
1
3
．

难度：中等

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8．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，AB=1，AP=
2
，点M在PC上，则AM+DM的最小值为．

难度：中等

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9．已知点P为矩形ABCD所在平面外一点，AB=3，BC=2，平面PAB∩平面PCD=l．
（1）求证：l⊥AD；
（2）若点P在平面ABCD上的射影0在线段CD上，满足CO=20D，且直线PB与平面ABCD所成角的正切值为
1
2
，求四棱锥P-DABO的体积．

难度：中等

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10．在四棱锥A-BCDE中，AB⊥平面BCDE，底面BCDE是正方形且AB=CD，点G，F分别是AD和CD的中点．求：
（1）异面直线GF和AE所成角的大小；
（2）在平面ABC内，是否存在一点H，使得HG⊥平面ADE？若存在，请指出该点的位置，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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