知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•湛江一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=PD=2
3
，PB=AB=6，点P在底面的正投影在DC上．
（I）证明：BD⊥PA；
（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．（2016春•重庆校级月考）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，△PAB为等边三角形，AD⊥AB，AD∥BC，平面PAB⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥PA；
（Ⅱ）若AD=2BC=2AB=4，求点D到平面PAC的距离．

难度：中等

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3．如图（1）示，在梯形BCDE中，BC∥DE，BA⊥DE，且EA=DA=AB=2CB=2，如图（2）沿AB将四边形ABCD折起，使得平面ABCD与平面ABE垂直，M为CE的中点．

（Ⅰ）求证：BC∥面DAE；
（Ⅱ）求证：AM⊥BE；
（Ⅲ）求点D到平面BCE的距离．

难度：中等

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4．（2015秋•信宜市校级月考）如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）求点D到平面PAC的距离．

难度：中等

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5．如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且PA=AC，点E为PC的中点．
（1）求证：△PBC是直角三角形；
（2）求证：AE⊥平面PBC．

难度：中等

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6．如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD中点，N是PC中点．
（1）求证：MN∥面PAB；
（2）若平面PMC⊥平面PAD，求证CM⊥AD．

难度：中等

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7．如图，三棱柱中ABC-A₁B₁C₁，侧棱与底面ABC垂直，且AB₁⊥BC₁，AB=AA₁=1，BC=2．
（I）证明：AB₁⊥A₁C₁；
（Ⅱ）求点A₁到平面ABC₁的距离．

难度：中等

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8．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AC的中点．证明：（1）BD₁⊥AC；（2）BD₁⊥EB₁．

难度：中等

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9．如图，在平面α内有一条线段AB，分别过A，B作平面α的垂线段AC，BD（在平面α的同一侧），且AC=2BD，连接CD，过B作AB的垂线BE．
（Ⅰ）求证：BE⊥CD；
（Ⅱ）若AB=BE=2，CE=4，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

难度：中等

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10．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱AA₁垂直于底面ABC，∠ABC=
π
2
，AB=BC=AA₁=4，D为BC的中点．
（1）若E为棱CC₁的中点，求证：DE⊥A₁C；
（2）若E为棱CC₁上异于端点的任意一点，设CE与平面ADE所成角为α，求满足sinα=
4
61
61
时CE的长．

难度：中等

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