知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•浙江模拟）如图所示，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB₁A₁为菱形，∠DAB=∠DAA₁．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥AD；
（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A₁AB=60°，点D在平面ABB₁A₁上的射影恰为线段A₁B的中点，求平面DCC₁D₁与平面ABB₁A₁所成锐二面角的余弦值．

难度：中等

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2．（2016•柳州模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=2PC=
2
，D是PC的中点
（1）证明：AB⊥PC；
（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．

难度：中等

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3．（2016•湖南模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（1）证明：PB⊥CD；
（2）求二面角A-PD-B的余弦值．

难度：中等

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4．（2016•泰安一模）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．
（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；
（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．

难度：中等

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5．如图．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=
1
2
CD，M是的CD的中点．N是AC与BM的交点，将△BCM沿BM向上翻折成△BPM，使平面BPM⊥平面ABMD
（I）求证：AB⊥PN．
（Ⅱ）若E为PA的中点．求证：EN∥平面PDM．

难度：中等

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6．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E，F分别是A₁C，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：D₁E∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：BC⊥A₁C；
（Ⅲ）若A₁A=AB，求DF与平面A₁ADD₁所成角的正弦值．

难度：中等

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7．（2015秋•三明校级月考）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4
（1）求证AC⊥BC₁
（2）在AB上是否存在点D使得AC₁⊥CD
（3）在AB上是否存在点D使得AC₁∥平面CDB₁？

难度：较难

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8．如图，圆柱OO₁的底面圆半径为2，ABCD为经过圆柱轴OO₁的截面，点P在
AB
上且
AP
=
1
3
APB
，Q为PD上任意一点．
（Ⅰ）求证：AQ⊥PB；
（Ⅱ）若线段PD的长为2
3
，求圆柱OO₁的体积．

难度：中等

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9．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M为PB的中点，N在BC上，且BN=
1
3
BC
（1）求证：MN⊥AB
（2）求二面角P-AN-M的余弦值．

难度：中等

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10．如图，已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=
1
2
BC=a，E是
BC的中点，将△BAE沿AE折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F为B₁D的中点．
（1）证明：AE⊥B₁D；
（2）求二面角F-AC-B₁的余弦值．

难度：中等

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