知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，M、N分别是A B．PC的中点．
（1）求证：平面MND⊥平面PCD；
（2）求点P到平面MND的距离．

难度：较难

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2．已知四边形ABCD是菱形，其对角线AC=4，BD=2，直线AE，CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=4．
（1）求证：平面EBD⊥平面FBD；
（2）求直线AB与平面EAD所成角的正弦值；
（3）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积．

难度：中等

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3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=
1
2
AD=1，CD=
3
．
（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值．

难度：中等

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4．在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=2
3
，E、G分别为PC、PA的中点．
（I）求证：平面BCG⊥平面PAC；
（II）在线段AC上是否存在一点N，使PN⊥BE？证明你的结论．

难度：中等

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5．在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，四边形ABCD是菱形．
（Ⅰ）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求该多面体的体积．

难度：中等

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6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M，
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线PC与平面ABM所成的角；
（3）求点O到平面ABM的距离．

难度：中等

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7．己知四棱锥P一ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，M、N分别AB、PC的中点．
（1）求证平面MND⊥平面PCD；
（2）若PA=AD=2，AB=1，求直线MD与平面PCD所成角的大小；
（3）在（2）的条件下，求直线MD与直线PB所成角的大小．

难度：较易

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8．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD=4AP，∠BAD=∠PAD=60°，E，F分别是AP，AD的中点．
（1）求证：平面BEF⊥平面PAD；
（2）求二面角P-BE-F的正切值．

难度：中等

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9．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A₁C₁与B₁D₁的交点，已知AA₁=AB=1，∠BAD=60°．
（1）求证：平面A₁BC₁⊥平面B₁BDD₁；
（2）求点O到平面BC₁D的距离．

难度：中等

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10．如图所示，已知△AOB中，∠AOB=
π
2
，AB=2OB=4，D为AB的中点，若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的，记二面角B-AO-C的大小为θ．
（I）若θ=
π
2
，求证：平面COD⊥平面AOB；
（II）若θ∈[
π
2
，
2π
3
]时，求二面角C-OD-B的余弦值的最小值．

难度：中等

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