知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

选修\(4-1:\)几何证明选讲

如图，\(AB\)为半圆\(O\)的直径，直线\(PC\)切半圆\(O\)于点\(C\)，\(AP⊥PC\)，\(P\)为垂足．

\((1)\) 求证：\(∠PAC=∠CAB;\)

\((2)\) 求证：\(AC^{2}=AP·AB.\)

难度：较易

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2．

如图，点列\(\{A_{n}\}\)，\(\{B_{n}\}\)分别在某锐角的两边上，且\(\left| {{A}_{n}}{{A}_{n+1}} \right|=\left| {{A}_{n+1}}{{A}_{n+2}} \right|,{{A}_{n}}\ne {{A}_{n+2}},n\in {{N}^{*}}\)，\(\left| {{B}_{n}}{{B}_{n+1}} \right|=\left| {{B}_{n+1}}{{B}_{n+2}} \right|,{{B}_{n}}\ne {{B}_{n+2}},n\in {{N}^{*}}\)，\((P\neq Q \)表示点\(P\)与\(Q\)不重合\()\)，若\({d}_{n}=\left|{A}_{n}{B}_{n}\right| \) \(S_{n}\)为\(∆{A}_{n}{B}_{n}{B}_{n+1} \)的面积，则\((\) \()\)

A．\({ }\!\!\{\!\!{ }S_{n}^{{}}{ }\!\!\}\!\!{ }\)是等差数列

B．\({ }\!\!\{\!\!{ }S_{n}^{2}{ }\!\!\}\!\!{ }\)是等差数列

C．\({ }\!\!\{\!\!{ }d_{n}^{{}}{ }\!\!\}\!\!{ }\)是等差数列

D．\({ }\!\!\{\!\!{ }d_{n}^{2}{ }\!\!\}\!\!{ }\)是等差数列

难度：较易

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3．
【选做题】在\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四小题中只能选做\(2\)题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修\(4-1:\)几何证明选讲

如图，已知\(\triangle ABC\)内接于圆\(O\)，连接\(AO\)并延长交圆\(O\)于点\(D\)，\(∠ACB=∠ADC\)．

求证：\(AD·BC=2AC·CD\)．

B. 选修\(4-2:\)矩阵与变换

设矩阵\(A\)满足：\(A\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 6 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathrm{{-}}1 & \mathrm{{-}}2 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix}\)，求矩阵\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}\)．

C. 选修\(4-4:\)坐标系与参数方程

在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知直线\(\begin{cases} x{=}\mathrm{{-}}\dfrac{3}{2}{+}\dfrac{\sqrt{2}}{2}l\mathrm{{,}} \\ y{=}\dfrac{\sqrt{2}}{2}l \end{cases}(l\)为参数\()\)与曲线\(\begin{cases} x{=}\dfrac{1}{8}t^{2}\mathrm{{,}} \\ y{=}t \end{cases}(t\)为参数\()\)相交于\(A\)，\(B\)两点，求线段\(AB\)的长．

D. 选修\(4-5:\)不等式选讲

设\(x\)，\(y\)，\(z\)均为正实数，且\(xyz=1\)，求证：\(\dfrac{1}{x^{3}y}+\dfrac{1}{y^{3}z}+\dfrac{1}{z^{3}x}\geqslant xy+yz+zx\)．

难度：中等

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4．
选修\(4-1:\)几何证明选讲

如图，\(\triangle ABC\)的顶点\(A\)，\(C\)在圆\(O\)上，\(B\)在圆外，线段\(AB\)与圆\(O\)交于点\(M\)．

图\((1)\)　　　　　　　　图\((2)\)

\((1)\) 若\(BC\)是圆\(O\)的切线，且\(AB=8\)，\(BC=4\)，求线段\(AM\)的长\(;\)

\((2)\) 若线段\(BC\)与圆\(O\)交于另一点\(N\)，且\(AB=2AC\)，求证：\(BN=2MN\)．

难度：中等

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5． \(\triangle ABC\)的三边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)且满足\(b^{2}=ac\)，\(2b=a+c\)，则此三角形是\((\)　　\()\)

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等边三角形

难度：中等

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6．已知在梯形\(ABCD\)中\((\)如图\()\)，\(AB=DC=DA\)，\(AC\)和\(BD\)是梯形的对角线\(.\)求证：\(CA\)平分\(∠BCD\)，\(BD\)平分\(∠CBA\)．

难度：较易

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7．如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是直角梯形，\(AB/\!/CD\)，\(∠DAB=60^{\circ}\)，\(AB=AD=2CD\)，侧面\(PAD⊥\)底面\(ABCD\)，且\(\triangle PAD\)为等腰直角三角形，\(∠APD=90^{\circ}\)，\(M\)为\(AP\)的中点．
\((1)\)求证：\(AD⊥PB\)；
\((2)\)求证：\(DM/\!/\)平面\(PCB\)．

难度：较易

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8．
在 \(\vartriangle ABC\) 中，若 \({a}^{2}=b\left(b+c\right) \) ．

\((1)\)求证：\(A=2B.\)

\((2)\)若\(a= \sqrt{3}b \) ，判断 \(\vartriangle ABC\) 的形状

难度：较难

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9．

\((1)\)如图，已知\(AB\)为圆\(O\)的一条弦，\(P\)为弧\(AB\)的中点，过点\(P\)任作两条弦\(PC\)，\(PD\)，分别交\(AB\)于点\(E\)，\(F.\)求证：\(PE·PC=PF·PD\)．

\((2)\)已知矩阵\(M=\begin{bmatrix} 1 & a \\ \mathrm{{-}}1 & b \\ \end{bmatrix}\)，点\((1,-1)\)在矩阵\(M\)对应的变换作用下得到点\((-1,-5)\)，求矩阵\(M\)的特征值．

\((3)\)在极坐标系中，圆\(C\)的圆心在极轴上，且过极点和点\(\left( 3\sqrt{2}\mathrm{{,}}\dfrac{\pi}{4} \right)\)，求圆\(C\)的极坐标方程．

\((4)\)已知\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)是正实数，且\(abcd=1\)，求证：\(a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}\geqslant a+b+c+d\)．

难度：中等

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10．
\((I)\)如图，\(\triangle ABC\)的顶点\(A\)，\(C\)在圆\(O\)上，\(B\)在圆外，线段\(AB\)与圆\(O\)交于点\(M\)．

图\((1)\)　　　　　　　　图\((2)\)

\((1)\) 若\(BC\)是圆\(O\)的切线，且\(AB=8\)，\(BC=4\)，求线段\(AM\)的长\(;\)

\((2)\) 若线段\(BC\)与圆\(O\)交于另一点\(N\)，且\(AB=2AC\)，求证：\(BN=2MN\)．
\((II)\)设\(a\)，\(b∈R\)，若直线\(l:ax+y-7=0\)在矩阵\(A=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ \mathrm{{-}}1 & b \\ \end{bmatrix}\)对应的交换作用下得到的直线为\(l{{'}}:9x+y-91=0\)，求实数\(a\)，\(b\)的值．

\((III)\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，若直线\(l:\begin{cases} x{=}1{+}\dfrac{3}{5}t\mathrm{{,}} \\ y{=}\dfrac{4}{5}t \end{cases}(t\)为参数\()\)与曲线\(C:\begin{cases} x{=}4k^{2}\mathrm{{,}} \\ y{=}4k \end{cases}(k\)为参数\()\)交于\(A\)，\(B\)两点，求线段\(AB\)的长．

\((IV)\)设\(a\neq b\)，求证：\(a^{4}+6a^{2}b^{2}+b^{4} > 4ab(a^{2}+b^{2}).\)

难度：中等

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