知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．将正整数1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a＞b）的比值
a
b
，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．若a_ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足a_ij=
i+(j-i-1)n，    i＜j
i+(n-i+j-1)n，  i≥j
，当n=4时数表的“特征值”为    ．

难度：较难

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2．已知二阶矩阵M=
2 1
0 1
，求矩阵M特征值及特征向量．

难度：较难

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3．已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量
e1
=
.
1
1
.
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15）．
（Ⅰ）求矩阵M．
（Ⅱ）求M的另一个特征值和其所对应的一个特征向量．

难度：中等

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4．选修4-2；矩阵与变换
已知矩阵A=
.
1 2
-1 4
.
，向量a=
.
4
7
.

（I）求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和特征向量a₁、a₂；
（Ⅱ）求A⁵α的值．

难度：中等

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5．知a∈R，矩阵A=
1 2
a a
对应的线性变换把点P（1，1）变成点P′（3，3），求矩阵A的特征值以及属于没个特征值的一个特征向量．

难度：中等

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6．已知矩阵M1=
2 1
-2 -3
，矩阵M₂表示的是将每个点绕原点逆时针旋转
π
2
得到的矩阵，M=M₂M₁
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．

难度：较易

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7．已知矩阵A=[
x 3
2 y
]，α=[
4
-1
]，且Aα=[
9
4
]．
（1）求实数x，y的值；
（2）求A的特征值λ₁，λ₂（λ₁＞λ₂）及对应的特征向量
α1
，
α2
；
（3）计算A²⁰α．

难度：中等

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8．选修4-2：矩阵与变换
已知M=
1 2
2 1
，β=
1
7
，试计算M³β．

难度：中等

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9．已知矩阵M=
1 2
0 3

（1）试求M的逆矩阵；
（2）求M的特征值及特征向量．

难度：较易

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10．已知矩阵A=（

1
-1

2
4
），向量α=（

7
4
）．
（1）求A的特征值λ₁，λ₂和对应的一个特征向量α₁，α₂；
（2）计算A⁵α的值．

难度：较易

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