知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设点（x，y）在矩阵M对应变换作用下得到点（3x，3y）．
（1）写出矩阵M，并求出其逆矩阵M^-1
（2）若曲线C在矩阵M对应变换作用下得到曲线C'：y²=4x，求曲线C的方程．

难度：较易

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2．已知矩阵M= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20m%20%26%207%20%5C%5C%202%20%26%203%5Cend%7Bbmatrix%7D$ 的逆矩阵M^-1= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20n%20%26%20-7%20%5C%5C%20-2%20%26%20m%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，求实数m，n．

难度：易

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3．
关于$x$的不等式$\begin{vmatrix}x+m & 2 \\ 1 & x\end{vmatrix} < 0 $的解集为$(-1,2)$。

$(1)$求实数$m$的值；

$(2)$若$m\cos α+2\sin α=0 $，求$\tan (2α- \dfrac{π}{4}) $的值．

难度：易

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4．
已知$a,b\in R$，向量为$\overrightarrow{\alpha }=\left[ \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$是矩阵$A=\left[ \begin{matrix} a & 2 \\ b & 1 \\ \end{matrix} \right]$的属于特征值$-3$的一个特征向量．

$(1)$求矩阵$A$的另一个特征值；

$(2)$求矩阵$A$的逆矩阵${{A}^{-1}}$．

难度：易

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5．
设二阶矩阵$A=\left[ \begin{matrix} 1 & a \\ b & 2 \\\end{matrix} \right]$，$B=\left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ \dfrac{1}{2} & 1 \\\end{matrix} \right]$，满足$AB=\left[ \begin{matrix} c & 2 \\ 3 & d \\ \end{matrix} \right]$，其中$a,b,c,d\in R$．

$(1)$求$a,b,c,d$的值；

$(2)$若曲线${{C}_{1}}:2{{x}^{2}}-2xy+1=0$在矩阵$A$对应的变换作用下得到另一曲线${{C}_{2}}$，求${{C}_{2}}$的方程．

难度：易

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6．
已知矩阵$A= \begin{bmatrix} a & 1 \\ b & 0\end{bmatrix}$，其中$a$，$b∈R$，若点$P(1,1)$在矩阵$A$的变换下得到点$Q(3,3)$，向量$ \overrightarrow{β}= \begin{bmatrix} 5 \\ 9\end{bmatrix}$．
$(1)$求$a$，$b$的值及矩阵$A$的特征值、特征向量；
$(2)$计算$A^{20} \overrightarrow{β}$．

难度：易

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7．
已知矩阵$A= \begin{bmatrix} 1 & a \\ -1 & b\end{bmatrix}$的一个特征值为$2$，其对应的一个特征向量为$a= \begin{bmatrix} \overset{2}{1}\end{bmatrix}$，求实数$a$，$b$的值．

难度：易

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8．
已知矩阵$A= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}$，列向量$X= \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix},B= \begin{bmatrix} 4 \\ 7\end{bmatrix}$，若$AX=B$，直接写出$A^{-1}$，并求出$X$．

难度：易

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9．
已知矩阵$M= \begin{bmatrix} 2 & a \\ b & 1\end{bmatrix}$，其中$a$，$b$均为实数，若点$A(3,-1)$在矩阵$M$的变换作用下得到点$B(3,5)$，求矩阵$M$的特征值．

难度：较易

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