知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为
x=1+t
y=t-3
（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=
2cosθ
sin2θ
．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求弦AB的长．

难度：中等

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2．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l：ρcosθ-ρsinθ-1=0和曲线C：
x=1+2sinφ
y=-1+2cosφ
（φ为参数）
（1）将l与C的方程化为普通方程；
（2）判定直线l与曲线 C是否相交，若相交求出l被C截得的弦长．

难度：较易

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3．将单位圆经过伸缩变换：φ：
x′=λx
y′=μy
（λ＞0，μ＞0）得到曲线C：
x2
4
+
y2
2
=1
（1）求实数λ，μ的值；
（2）以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，将曲线C 上任意一点到极点的距离ρ（ρ≥0）表示为对应极角θ（0≤θ＜2π）的函数，并探求θ为何值时，ρ取得最小值？

难度：较难

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4．已知直线l的参数方程是
x=
2
2
t
y=
2
2
t+4
2
（t是参数），⊙C的极坐标方程为ρ=2
2
cos(θ+
π
4
)．
（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）试判断直线l与⊙C的位置关系．

难度：中等

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5．在平面直角坐标系xOy中，曲线
x=cosφ
y=sinφ
（φ为参数），经坐标变换
x′=ax
y′=by
（a＞0，b＞0）后所得曲线记为C．A、B是曲线C上两点，且OA⊥OB．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求证：点O到直线AB的距离为定值．

难度：较难

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6．已知直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
3
2
t+2-2
3
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．

难度：较难

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7．已知曲线C₁的极坐标方程是ρcos（θ+
π
4
）=2
2
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C₂的参数方程是：
x=4t2
y=4t
(t是参数）．
（1）将曲线C₁和曲线C₂的方程转化为普通方程；
（2）若曲线C₁与曲线C₂相交于A、B两点，求证OA⊥OB；
（3）设直线y=kx+b与曲线C₂交于两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0且a为常数），过弦PQ的中点M作平行于x轴的直线交曲线C₂于点D，求证：△PQD的面积是定值．

难度：较难

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8．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的倾斜角为α，参数方程为
x=tcosα
y=tsinα
（t为参数，tanα=
1
2
），圆C的极坐标方程为ρ²-8ρcosθ+12=0，直线l与圆C交于A，B两点，则|OA|+|OB|= ．

难度：较难

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9．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x=t+1
y=2t
，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ+3=0．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P是曲线C上的动点，求它到直线l的距离d的取值范围．

难度：较难

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10．求直线θ=
π
3
(ρ∈R)与曲线ρ=
4
1-cosθ
的交点的极坐标．

难度：中等

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