知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为
x=1+t
y=2+
3
t
（t为参数）
（1）写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换
x′=x
y′=
1
2
y
得到曲线C′，设M（x，y）为C′上任意一点，求x²-
3
xy+2y²的最小值，并求相应的点M的坐标．

难度：较难

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2．已知曲线C的参数方程为
x=
t2-4
t2+4
y=
8t
t2+4
（t为参数）．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）过点P（0，1）的直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的取值范围．

难度：较难

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3．（1）已知在极坐标系中，直线l过点（2，0）、倾斜角为
π
6
，求M(2，
π
3
)到直线l的距离；
（2）已知直线和椭圆的参数方程分别是
x=
1
2
+t
y=
1
2
-t
（t∈R，t为参数），
x=2cosθ
y=
3
sinθ
（θ为参数），判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由，若相交求出相交弦长．

难度：中等

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4．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为(
2
，
π
4
)，直线l的参数方程为
x=
3
2
-
2
2
t
y=
1
2
+
2
2
t
（t为参数），点A在直线l上．
（Ⅰ）求点A对应的参数t；
（Ⅱ）若曲线C的参数方程为
x=2cosθ
y=sinθ
（θ为参数），直线l与曲线C交于M、N两点，求|MN|．

难度：较难

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5．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C₂的参数方程为
x=2cosθ
y=sinθ
（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程与曲线C₂的普通方程；
（Ⅱ）试判断曲线C₁与C₂是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．

难度：较难

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6．已知直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为
x=2cosφ
y=sinφ
（φ为参数）．
（1）在极坐标系下，若曲线值与射线θ=
π
4
和射线θ=-
π
4
分别交于A，B两点，求△AOB的面积；
（2）在直角坐标系下，给出直线l的参数方程为
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．

难度：中等

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7．已知椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1，直线l：
x=-3+
3
t
y=2
3
+t
（t为参数）．
（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
（Ⅱ）设 A（1，0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．

难度：较难

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8．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x=2+2t
y=1-t
（t为参数），椭圆C的方程为
x2
4
+y²=1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．

难度：较难

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