知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（Ⅰ）解不等式
x2-x-6
x-1
＞0
（Ⅱ）设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求证（
1
a
-1）（
1
b
-1）（
1
c
-1）≥8．

难度：中等

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2．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+ $\text{[math]}$ ≥2y+3．

难度：中等

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3．设函数f（x）=|2x-a|．
（1）当a=3时，解不等式，f（x）＜|x-2|．
（2）若f（x）≤1的解集为[0，1]，
1
m
+
1
2n
=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e为自然数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）（n∈N^*）．

难度：较难

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5．（1）设z=a+bi（a，b∈R），求证：
z-1
z+1
为实数的充要条件是b=0．
（2）证明：当a＞1时，
a+1
+
a-1
＜2
a
．

难度：中等

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6．设n是不小于2的正整数，求证：
4
7
＜1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
＜
2
2
．

难度：中等

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7．已知a，b，c＞0，求证：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
a+b
+
1
b+c
+
1
c+a
．

难度：较难

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8．已知实数a，b满足ab＞0，a²b=2，m=ab+a²．
（Ⅰ）求m的最小值；
（Ⅱ）若m的最小值为t，正实数x，y，z满足x²+y²+z²=
t
3
，求证：|x+2y+2z|≤3．

难度：中等

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9．已知矩阵A=
3 a
0 -1
，a∈R，若点P（2，-3）在矩阵A的变换下得到点P′（3，3）．
（1）则求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及其对应的特征向量．

难度：中等

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10．已知|x+1|+|x-l|＜4的解集为M，若a，b∈M，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

难度：中等

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