知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b，c均为实数，且 $a%3Dx%5E%7B2%7D-2y%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%EF%BC%8Cb%3Dy%5E%7B2%7D-2z%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%EF%BC%8Cc%3Dz%5E%7B2%7D-2x%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ，
求证：a，b，c中至少有一个大于0．（请用反证法证明）

难度：较易

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2．（1）求证：已知：a＞0，求证：
a+5
-
a+3
＞
a+6
-
a+4

（2）已知a，b，c均为实数且a=x²+2y+
π
2
，b=y²-2z+
π
3
，c=z²-2x+
π
6
，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

难度：中等

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3．已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根．

难度：较易

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4．已知x，y∈R⁺，且x+y＞2，求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%2Bx%7D%7By%7D$ 与 $%20%5Cfrac%20%7B1%2By%7D%7Bx%7D$ 中至少有一个小于2．

难度：较易

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5．（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°．
（2）已知n≥0，试用分析法证明： $%20%5Csqrt%20%7Bn%2B2%7D-%20%5Csqrt%20%7Bn%2B1%7D%EF%BC%9C%20%5Csqrt%20%7Bn%2B1%7D-%20%5Csqrt%20%7Bn%7D$ ．

难度：较易

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6．已知定义在R上的函数f（x）=x²+bx+c（a∈R，c∈R），定义：f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））．n≥2，n∈N^*
（1）若b=c=1，当n=1，2时比较f_n（x）与x的大小关系．
（2）若对任意的x∈R，都有使得f₂₀₁₂（x）＞x，用反证法证明：4c＞（b-1）²．

难度：较难

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7．已知a＞0，b＞0，用下面要求的方法证明：
a
b
+
b
a
≥
a
+
b
．
（1）分析法；
（2）反证法．

难度：中等

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8．设函数f（x）=3ax²-2（a+b）x+b（a＞0）中，|f（0）|≤2，|f（1）|≤2，
（1）证明：0≤x≤1时，有|f（x）|≤2；
（2）是否存在函数f（x）使f（
1
2
）=-2？若存在求出函数f（x）的解析式，若不存在，说明理由．

难度：中等

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9．已知数列a_n=
1
(3n-2n)
，求证：前n项和S_n＜
3
2
．

难度：中等

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10．如图，已知D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，F是线段DE上的任意一点，DE∥BC，且S_△ABC=1，求证：△BDF和△CEF中至少有一个三角形的面积不大于
1
8
．

难度：中等

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