知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足：a₁=1，点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线y=2x+1上．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中你的猜想．

难度：易

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2．已知数列{a_n}满足a₁= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ，a_n+1=-2a_n²+2a_n，n∈N*．
（1）用数学归纳法证明：a_n∈（0， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ）；
（2）令b_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ -a_n，证明： $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D$ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7Bi%7D%7D$ ≥3ⁿ⁺¹-3．

难度：中等

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3．
在含有$n$个元素的集合$A_{n}=\{1,2,…,n\}$中，若这$n$个元素的一个排列$(a_{1},a_{2},…,a_{n})$满足$a_{i}\neq i(i=1,2,…,n)$，则称这个排列为集合$A_{n}$的一个错位排列$($例如：对于集合$A_{3}=\{1,2,3\}$，排列$(2,3,1)$是$A_{3}$的一个错位排列；排列$(1,3,2)$不是$A_{3}$的一个错位排列$).$记集合$A_{n}$的所有错位排列的个数为$D_{n}$．
$(1)$直接写出$D_{1}$，$D_{2}$，$D_{3}$，$D_{4}$的值；
$(2)$当$n\geqslant 3$时，试用$D_{n-2}$，$D_{n-1}$表示$D_{n}$，并说明理由；
$(3)$试用数学归纳法证明：$D_{2n}(n∈N^{*})$为奇数．

难度：较易

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4．
$(1)$用数学归纳法证明：当$n∈N^{*}$时，$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+…+\cos nx= \dfrac {\sin (n+ \dfrac {1}{2})x}{2\sin \dfrac {1}{2}x}- \dfrac {1}{2}(x∈R$，且$x\neq 2kπ$，$k∈Z)$；
$(2)$求$\sin \dfrac {π}{6}+2\sin \dfrac {2π}{6}+3\sin \dfrac {3π}{6}+4\sin \dfrac {4π}{6}+…+2018\sin \dfrac {2018π}{6}$的值．

难度：较易

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5．
$(1)$已知$a_{i} > 0,b_{i} > 0(i∈N^{*})$，比较$ \dfrac { b_{ 1 }^{ 2 }}{a_{1}}+ \dfrac { b_{ 2 }^{ 2 }}{a_{2}}$与$ \dfrac {(b_{1}+b_{2})^{2}}{a_{1}+a_{2}}$的大小，试将其推广至一般性结论并证明；
$(2)$求证：$ \dfrac {1}{ C_{ n }^{ 0 }}+ \dfrac {3}{ C_{ n }^{ 1 }}+ \dfrac {5}{ C_{ n }^{ 2 }}+…+ \dfrac {2n+1}{ C_{ n }^{ n }}\geqslant \dfrac {(n+1)^{3}}{2^{n}}(n∈N^{*})$．

难度：较易

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6．

已知$n$为正偶数，用数学归纳法证明$1- \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}- \dfrac {1}{4}+…+ \dfrac {1}{n+1}=2( \dfrac {1}{n+2}+ \dfrac {1}{n+4}+…+ \dfrac {1}{2n})$时，若已假设$n=k(k\geqslant 2)$为偶数$)$时命题为真，则还需要用归纳假设再证$n=($　　$)$时等式成立．

A．$n=k+1$

B．$n=k+2$

C．$n=2k+2$

D．$n=2(k+2)$

难度：易

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7．
三个数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$，$\{c_{n}\}$，满足$a_{1}=- \dfrac {11}{10}$，$b_{1}=1$，$a_{n+1}= \dfrac {|a_{n}-1|+ \sqrt { a_{ n }^{ 2 }-2a_{n}+5}}{2}$，$b_{n+1}=2b_{n}+1$，$c_{n}=a\;_{b_{n}}$，$n∈N*$．
$($Ⅰ$)$证明：当$n\geqslant 2$时，$a_{n} > 1$；
$($Ⅱ$)$是否存在集合$[a,b]$，使得$c_{n}∈[a,b]$对任意$n∈N*$成立，若存在，求出$b-a$的最小值；若不存在，请说明理由；
$($Ⅲ$)$求证：$ \dfrac {2^{2}}{c_{2}}+ \dfrac {2^{3}}{c_{3}}+…+ \dfrac {2^{n}}{c_{n}}\leqslant 2^{n+1}+c_{n+1}-6(n∈N*,n\geqslant 2)$．

难度：中等

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