知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n} 满足：-
1
2
＜a₁＜0，21+an+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）求f（x）在[-
1
2
，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明：-
1
2
＜a_n＜0；
（3）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程，f(x)=-
5
2
x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式
2
12
+
3
22
+…+
n+1
n2
＞ln(n+1)成立．

难度：较难

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3．设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f′（x）表示f（x）的导函数．
（1）求函数y=f（x）的单调增区间；
（2）当k为偶数时，数列{a_n}满足：a₁=1，a_nf′（a_n）=a_n+1²-3．证明：数列{a_n²}中的任意三项不能构成等差数列；
（3）当k为奇数时，证明：对任意正整数都有[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）成立．

难度：难

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4．已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n=
n
n-1
a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^∗）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=
3n-1
an
（n∈N^∗），数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S₂与n的大小；
（3）令c_n=
an+1
n+1
（n∈N^*），数列{
2cn
(cn-1)2
}的前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有 T_n＜2．

难度：较难

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5．已知数列a_n满足递推关系式：2a_n+1=1-a_n²（n≥1，n∈N），且0＜a₁＜1．
（1）求a₃的取值范围；
（2）用数学归纳法证明：|an-(
2
-1)|＜
1
2n
（n≥3，n∈N）；
（3）若bn=
1
an
，求证：|bn-(
2
+1)|＜
12
2n
（n≥3，n∈N）．

难度：较难

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