知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)满足\({{a}_{1}}=\sqrt{2}\)，\(a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}=2n\left(n\geqslant 2\right) \)，且\({{a}_{n}} > 0\)．

\((1)\)求\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项；

\((2)\)设\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，用数学归纳法证明：\({{S}_{n}} < \dfrac{1}{2}{{(n+1)}^{2}}\)．

难度：较难

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2．
已知函数\(f(x)=ax- \dfrac{b}{x}-2\ln x\)，\(f(1)=0\)．

\((1)\)若函数\(f(x)\)在其定义域内为单调函数，求实数\(a\)的取值范围？

\((2)\)若函数\(f(x)\)的图像在\(x=1\)处的切线的斜率为\(0\)，且\(a_{n+1}=f′\left( \left. \dfrac{1}{a_{n}+1} \right. \right)-na_{n}+1\)，若\(a_{1}\geqslant 3\)，求证：\(a_{n}\geqslant n+2\)．

难度：难

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3．

观察下列等式

\(1 > \dfrac{1}{2} \)
\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3} > 1 \)
\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{5}+ \dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{7} > \dfrac{3}{2} \)
\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{15} > 2 \)
\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{31} > \dfrac{5}{2} \)
\((1)\)从上述不等式归纳出一个与正整数\(n\)有关的一般不等式；

\((2)\)证明你归纳得到的不等式．

难度：难

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4．若\(f(n)=1+ \dfrac {1}{ \sqrt {2}}+ \dfrac {1}{ \sqrt {3}}+…+ \dfrac {1}{ \sqrt {n}}\)，\(n∈N\)，当\(n\geqslant 3\)时，证明：\(f(n) > \sqrt {n+1}\)．

难度：易

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