知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，n∈N，当n≥3时，证明：f（n）＞
n+1
．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}满足a₁=
2
5
，且对任意n∈N^*，都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2
．
（Ⅰ）求证：数列{
1
an
}为等差数列；
（Ⅱ）试问数列{a_n}中a_k•a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
（Ⅲ）令bn=
2
3
(
1
an
+5)，证明：对任意n∈N*，都有不等式2bn＞bn2成立．

难度：较难

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3．已知等比数列{a_n}的首项a₁=2，公比q=3，S_n是它的前n项和．求证：
Sn+1
Sn
≤
3n+1
n
．

难度：较难

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4．设函数f_n（x）=C_n²+C_n³x+C_n⁴x²+…+C_nⁿx^n-2（n∈N，n≥2），当x＞-1，且x≠0时，证明：f_n（x）＞0恒成立．

难度：较难

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5．已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，则有f （x₁+x₂）≥f （x₁）+f （x₂）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
2n
，
1
2n-1
]，n∈N₊时，f（x）＜2x．

难度：较难

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6．已知数列{a_n}的通项公式为an=
n+1
2
，n=2k-1(k∈N*)
2
n
2
，n=2k(k∈N*).

设bn=
a2n-1
a2n
，Sn=b1+b2+…+bn．证明：当n≥6时，|Sn-2|＜
1
n
．

难度：难

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7． [理]已知函数f（x）=ax-
b
x
-2lnx，f（1）=0．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a_n+1=f′（
1
an-n+1
）-n²+1，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…．证明：
（Ⅰ）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（Ⅱ）a_n+1＜
1
6
an³．

难度：中等

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9．证明不等式1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
（n∈N^*）

难度：中等

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10．已知：a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*，求证：
an+bn
2
≥(
a+b
2
)n．

难度：中等

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