知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知实数a＞0，b＞0
（1）若a+b＞2，求证：
1+b
a
，
1+a
b
中至少有一个小于2；
（2）若a-b=2，求证：a³+b＞8；
（3）若a²-b²=2，求证：a（3a-2b）≥4
2
+6．

难度：中等

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2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
（1）证明：∠D=∠E；
（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形；
（3）若BC=1，且△ADE的外接圆半径为2，求四边形ABCD的面积．

难度：中等

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3．（Ⅰ）已知a，b∈R⁺，求证：（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8a³b³；
（Ⅱ）已知a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1．求证：(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8．

难度：较难

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4．（1）证明：
5
-
10
＞
3
-
8

（2）已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，求证：(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8．

难度：中等

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5．设x，y，z均为正实数，且3^x=4^y=6^z
（1）若z=1，求（x-1）（2y-1）的值；
（2）求证：
1
z
-
1
x
=
1
2y
．

难度：较难

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6．（I）求|2x-1|+|2x+3|＜5的解集；
（II）设a，b，c均为正实数，试证明不等式
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
，并说明等号成立的条件．

难度：较难

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7．（1）若x，y都是正实数，且x+y＞2，求证：
1+x
y
＜2和
1+y
x
＜2中至少有一个成立．
（2）已知a、b、c∈R⁺，求证：
a2+b2+c2
3
≥
a+b+c
3
．

难度：中等

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8．已知：如图所示，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED，连接EB，DC的延长线交BE于F．求证：EF=BF．

难度：中等

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9．设m≠n，x=m⁴-m³•n，y=n³•m-n⁴，比较x与y的大小．

难度：中等

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