知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知复数z₁=2sinθ-
3
i，z₂=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[
π
3
，
π
2
]．
（1）若z₁•z₂为实数，求sec2θ的值；
（2）若复数z₁，z₂对应的向量分别是
a
，
b
，存在θ使等式（λ
a
-
b
）•（
a
-λ
b
）=0成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a=8，b=7，B=60°，则S_△ABC= ．

难度：较难

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3． △ABC所在平面上一点P满足
PA
+
PC
=
AB
，若△ABP的面积为6，则△ABC的面积为．

难度：较难

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4．在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：（几何证明选讲）
如图，从O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，
求证：O，C，P，D四点共圆．
B．选修4-2：（矩阵与变换）
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e₁=[

1
1
]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．
C．选修4-4：（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p=2
2
sin（θ-
π
4
），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．
D．选修4-5（不等式选讲）
已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

难度：较难

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5．在△ABC中，AB=2，BC=3，D是三角形内一点，CD=2，使∠B+∠ADC=180°，问求当∠B为何值时，△ABC和△ADC面积之差最大？（∠B=
π
4
时，面积之差最大）

难度：中等

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6．在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（7，5），求△ABC的面积．

难度：中等

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7．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c²≤ab且C=
π
3
，又△ABC外接圆面积为2π，则△ABC的面积为．

难度：较易

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8．在△ABC中，若C=30°，AC=3
3
，AB=3，则△ABC的面积为．

难度：中等

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9．设△ABC三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4sin
C
2
cos（
π
3
-
C
2
）=
3

（1）求内角C
（2）若c=
3
，且△ABC的面积为
3
2
，求sinA+sinB的值．

难度：中等

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10． A（1，1，-1），B（2，2，2），C（3，2，4），则△ABC面积为．

难度：较易

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