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          共50条信息

            • 1． 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是
              2
              5
              ；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是
              7
              9
              ．
              （Ⅰ）若袋中共有10个球，
              （i）求白球的个数；
              （ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．
              （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于
              7
              10
              ．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
              难度：中等
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            • 2． 有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：
              ①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC；
              ②腰长为4、顶角为36°的等腰三角形JKL；
              ③腰长为5、顶角为120°的等腰三角形OMN；
              ④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS；
              ⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ．
              它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环．
              我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”．
              （1）证明：第④种塑料板“可操作”；
              （2）求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率．
              难度：中等
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            • 3． 证明：C
               
              0
              n
              C
               
              m
              m
              +C
               
              1
              n
              C
               
              m-1
              m
              +…+C
               
              m
              n
              C
               
              0
              m
              =C
               
              m
              m+n
              （其中n≥m）．
              难度：中等
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            • 4． 证明：当n为大于2的整数时，n5-5n3+4n能被120整除．
              难度：中等
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            • 5． 证明：C
              0
              n
              +
              1
              2
              C
              1
              n
              +
              1
              3
              C
              2
              n
              +…+
              1
              k
              C
              k-1
              n
              +…+
              1
              n+1
              C
              n
              n
              =
              1
              n+1
              （2n+1-1）．
              难度：中等
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            • 6． 求证：A
               
              m
              n
              +mA
               
              m-1
              n-1
              +m（m-1）A
               
              m-2
              n-1
              =A
               
              m
              n+1
              ．（n，m∈N*，n≥m＞2）
              难度：中等
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            • 7． △ABC与△A1B1C1的对应顶点连线AA1，BB1，CC1的交点为O，求证：对应边BC与B1C1，CA与C1A1，AB与A1B1的交点D、E、F共线（用梅内劳斯定理）．
              难度：中等
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