知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．是否存在等差数列{b_n}，使得数列{a_n}与{b_n}满足a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_nC_nⁿ对一切正整数n成立？证明你的结论．

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2．已知有穷数列{a_n}共有m项（m≥3，m∈N^*），对于每个i（i=1，2，3，…，m）均有a_i∈{1，2，3}，且首项a₁与末项a_m不相等，同时任意相邻两项不相等．记符合上述条件的所有数列{a_n}的个数为f（m）．
（1）写出f（3），f（4）的值；
（2）写出f（m）的表达式，并说明理由．

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3．试用两种方法证明：
（1）
C
0
n
+
C
1
n
+…+
C
n
n
=2n(n∈N*)；
（2）
C
1
n
+2
C
2
n
+…+n
C
n
n
=n2n-1(n∈N*且n≥2)．

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4．规定
C
m
x
=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
，其中x∈R，m是正整数，且C_X⁰=1．这是组合数C_n^m（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求C_-15³的值；
（2）组合数的两个性质：①C_n^m=C_n^n-m；②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m是否都能推广到C_x^m（x∈R，m∈N^*）的情形？若能推广，请写出推广的形式并给予证明；若不能请说明理由．
（3）已知组合数C_n^m是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，C_x^m∈Z．

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5．求证：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．

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6．设函数f_n（x）=C_n²+C_n³x+C_n⁴x²+…+C_nⁿx^n-2（n∈N，n≥2），当x＞-1，且x≠0时，证明：f_n（x）＞0恒成立．

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7． P，Q，R顺次为△ABC中BC，CA，AB三边的中点，求证圆ABC在A点的切线与圆PQR在P点的切线平行．

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8．已知1＜m＜n，m，n∈N^*，求证：（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

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