知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知M是△ABC内的一点（不含边界），且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，记f(x，y，z)=
1
x
+
4
y
+
9
z
则f（x，y，z）的最小值是．

难度：中等

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2．设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则
1
x+y
+
9(x+y)
y+z
的最小值为．

难度：较难

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3．已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得
f(x1)•f(x2)
=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为．

难度：较难

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4．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，-f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M_f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M_f（a，b）=c=
a+b
2
，即M_f（a，b）为a，b的算术平均数．
（1）当f（x）= （x＞0）时，M_f（a，b）为a，b的几何平均数；
（2）当f（x）= （x＞0）时，M_f（a，b）为a，b的调和平均数
2ab
a+b
；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

难度：较易

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5．若x²+y²=2，设z=
1
x2
+
2y
x
，则z的最小值为．

难度：中等

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6．若M=a²+b²+c²，N=ab+bc+ca，那么M与N的大小关系是．

难度：较难

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7．若a、b、c为实数，且a+b+c=1，则a²+b²+c²的最小值为．

难度：较难

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8．已知a，b，c∈R₊且满足a+2b+3c=1，则
1
a
+
1
2b
+
1
3c
的最小值为．

难度：中等

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9．若x＞0，则函数y=2x-1+
1
x2
的最小值是．

难度：中等

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10．设函数f （x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使
f(x1)+f(x2)
2
=C(C为常数)成立，则称函数f （x）在D上均值为C，给出下列四个函数①y=x³，②y=4sinx，③y=lgx，④y=2^x，
则满足在其定义域上均值为2的函数是．

难度：较难

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