知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知M是△ABC内的一点（不含边界），且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，记f(x，y，z)=
1
x
+
4
y
+
9
z
则f（x，y，z）的最小值是．

难度：中等

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2．设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则
1
x+y
+
9(x+y)
y+z
的最小值为．

难度：较难

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3．已知a，b，c都是正数，且a+2b+c=1，则
1
a
+
1
b
+
1
c
的最小值是．

难度：较难

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4．若x＞0，则函数y=2x-1+
1
x2
的最小值是．

难度：中等

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5．本题有（I）、（II）、（III）三个选作题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知a∈R，矩阵P=
0 2
-1 0
，Q=
0 1
a 0
，若矩阵PQ对应的变换把直线l₁：x-y+4=0变为直线l₂：x+y+4=0，求实数a的值．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，求圆C：ρ=2上的点P到直线l：ρ(cosθ+
3
sinθ)=6的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知实数x，y满足x²+4y²=a（a＞0），且x+y的最大值为5，求实数a的值．

难度：较难

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6．（1）已知矩阵M=
2a
21
，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P'（-4，0）
（i）求实数a的值；
（ii）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．
（2）在平面直角坐标系xOy中，动圆x²+y²-8xcosθ-6ysinθ+7cos²θ+8=0（a∈R）的圆心为P（x₀，y₀），求2x₀-y₀的取值范围．
（3）已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a²+
1
4
b2+
1
9
c2+m-1=0．
①求证：a²+
1
4
b2+
1
9
c2≥
(a+b+c)2
14
；
②求实数m的取值范围．

难度：中等

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7．设a，b，c都是正数，且a+2b+c=1，则

的最小值为（　　）

A．9

B．12

C．6+2

D．6+4

难度：较难

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8．选做题：不等式选讲．
已知a，b，c是不全相等的正数，求证：
a+b
2
-
ab
a+b+c
3
-
3 abc
≤
3
2
，并指出等号成立的条件．

难度：较难

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9．若实数x，y满足xy＞0，且x²y=2，则xy+x²的最小值为．

难度：较易

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10．设a，b，c为正实数，求证：a³+b³+c³+
1
abc
≥2
3
．

难度：较难

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