知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设
a
=(
2
，m)（m＞0），
b
=(sinx，cosx)，且函数f(x)=
a
•
b
的最大值为2．
（1）求m与函数f（x）的最小正周期；
（2）△A BC中，f(A-
π
4
)+f(B-
π
4
)=12
2
sinAsinB，角 A、B、C所对的边分别是a、b、c，且C=
π
3
，c=
6
，求△ABC的面积．

难度：中等

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2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（c-
2
a）
BA
•
BC
=c
AC
•
CB
．
（1）求角B的大小；
（2）若|
BA
-
BC
|=
3
，求△ABC面积的最大值．

难度：较难

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3．已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，设
OC
=λ
OA
+μ
OB
．
（1）证明：A、B、C三点共线的条件是λ+μ=1
（2）若
OA
=(3x+1)•
OB
+(
3
2+3x
-y)•
OC
成立．记y=f（x），求函数y=f（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，若对任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|-ln[f（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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4．已知
m
=(-2sinx，cosx)，
n
=（cosx，2sin（x+
π
2
）），且函数f（x）=
m
•
n
+1
（1）求方程f（x）-1=0在（0，π）内有两个零点x₁，x₂，并求f（x₁+x₂）的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移
π
3
个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）图象，求函数g（x）的单调增区间．

难度：中等

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5．已知向量
m
，
n
的夹角为60°，且|
m
|=1，|
n
|=2，又
a
=2
m
+
n
，
b
=-3
m
+
n

（Ⅰ）求
a
与
b
的夹角的余弦；
（Ⅱ）设
c
=t
a
-
b
，
d
=
m
-
n
，若
c
⊥
d
，求实数t的值．

难度：中等

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6．定义两个互相垂直的单位向量为“一对单位正交向量”，设平面向量a _i（i=1，2，3，4）满足条件：|a_i|=1（i=1，2，3，4）且a_i•a_i+1=0（i=1，2，3），则（　　）

A．a₁+a₂+a₃+a₄=0

B．|a₁+a₂+a₃+a₄|=2或2

C．a_i（i=1，2，3，4）中任意两个都是一对单位正交向量

D．a₁，a₄是一对单位正交向量

难度：较难

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7．已知圆M过E（1，-1），F（-1，1）两点，且圆心在x+y-2=0上，
（1）求圆M的方程；
（2）若过点（-2，2）的直线被圆M所截得得弦长为2
3
，求该直线的方程；
（3）若P为直线3x+4y+8=0上的动点，过P做圆M的切线，切点为A，B，求当
|PA|
的最小值，并求此时
PA
•
PB
的值．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=
3
sin²（x+
π
4
）-cos²x-
1+
3
2
（x∈R）．
（1）求函数f（x）最小值和最小正周期；
（2）若A为锐角，且向量
m
=（1，5）与向量
n
=（1，f（
x
4
-A））垂直，求cos2A．

难度：中等

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9．已知向量
a
=（sinx，-1），
b
=（-
3
cosx，-
3
2
），函数f（x）=（
a
-
b
）•
a
．
（1）求函数f（x）的最小正周期T及对称轴方程；
（2）若f（
α
2
）=
3
3
，α∈[0，
π
2
]，求sinα的值．

难度：中等

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10．定义向量
OM
=(a，b)的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为
OM
=(a，b)（其中O为坐标原点）．
（1）若g(x)=3sin(x+
3π
2
)+4sinx，求g（x）的“相伴向量”；
（2）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）²+y²=1上一点，向量
OM
的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x₀的取值范围．

难度：较难

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