知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列\(\{x_{n}\}\)满足\({{x}_{1}}=\dfrac{{1}}{{2}}\)，\({{x}_{n+1}}=\dfrac{{1}}{{1}+{{x}_{n}}}\)，\(n∈N^{*}\)．

\((1)\)猜想数列\(\{x_{2n}\}\)的单调性，并证明你的结论：

\((2)\)证明：\(|{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}|\leqslant \dfrac{1}{6}{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{n-1}}\)．

难度：较难

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2．

当\(x\neq 1\)且\(x\neq 0\)时，数列\(\{nx^{n-1}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=1+2x+3x^{2}+…+nx^{x-1}(n∈N^{*})\)可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由\(x+x^{2}+x^{3}+…+x^{n}(n∈N^{*})\)按等比数列的求和公式，先求得\(x+x^{2}+x^{3}+…+x^{n}= \dfrac{x-x^{n+1}}{1-x}\)，两边都是关于\(x\)的函数，两边同时求导，\((x+x^{2}+x^{3}+…+x^{n})′=\left( \left. \dfrac{x-x^{n+1}}{1-x} \right. \right)′\)，从而得到\(S_{n}=1+2x+3x^{2}+…+nx^{n-1}= \dfrac{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^{2}}\)，按照同样的方法，请从二项展开式\((1+x)^{n}=1+C\rlap{_{n}}{^{1}}x+C\rlap{_{n}}{^{2}}x^{2}+…+C\rlap{_{n}}{^{n}}x^{n}\)出发，可以求得，\(S_{n}=1×2×C\rlap{_{n}}{^{1}}+2×3×C\rlap{_{n}}{^{2}}+3×4×C\rlap{_{n}}{^{3}}+…+n(n+1)×C\rlap{_{n}}{^{n}}(n\geqslant 4)\)的值为________\(.(\)请填写最简结果\()\)．

难度：中等

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3．

已知\(\{b_{n}\}\)为等比数列，\(b_{5}=2\)，则\(b_{1}·b_{2}·…·b_{9}=2^{9}\)，若\(\{a_{n}\}\)为等差数列，\(a_{5}=2\)，则类似结论为 \((\) \()\)

A．\(a_{1}·a_{2}·…·a_{9}=2^{9}\)

B．\(a_{1}+a_{2}+…+a_{9}=2^{9}\)

C．\(a_{1}·a_{2}·…·a_{9}=2×9\)

D．\(a_{1}+a_{2}+…+a_{9}=2×9\)

难度：中等

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4．
记\(S_{k}=1^{k}+2^{k}+3^{k}+…+n^{k}\)，当\(k=1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)时，观察下列等式：

\({{S}_{{1}}}=\dfrac{{1}}{{2}}{{n}^{{2}}}+\dfrac{{1}}{{2}}n\)，

\({{S}_{{2}}}=\dfrac{{1}}{{3}}{{n}^{3}}+\dfrac{{1}}{2}{{n}^{{2}}}+\dfrac{{1}}{{6}}n\)，

\({{S}_{3}}=\dfrac{1}{4}{{n}^{4}}+\dfrac{1}{2}{{n}^{3}}+\dfrac{1}{4}{{n}^{2}}\)，

\({{S}_{4}}=\dfrac{1}{5}{{n}^{5}}+\dfrac{1}{2}{{n}^{4}}+\dfrac{1}{2}{{n}^{3}}-\dfrac{1}{30}n\)．

\({{S}_{5}}=A{{n}^{6}}+\dfrac{1}{2}{{n}^{5}}+\dfrac{5}{12}{{n}^{4}}+B{{n}^{2}}\)，

\(……\)

由此可以推测\(A-B=\)_______．

难度：较易

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5．
古希腊著名的毕达哥拉斯学派把\(1,3,6,10,…\)这样的数称为“三角形数”，而把\(1,4,9,16,…\) 这样的数称为“正方形数”\(.\)如图，可以发现任何一个大于\(1\)的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：\(①36=15+21\)；\(②49=18+31\)；\(③64=28+36\)；\(④81=36+45\)中符合这一规律的等式是_________\(.(\)填写所有正确结论的编号\()\)

难度：较易

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6．

有\(6\)名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：\(4\)号或\(5\)号选手得第一名；学生乙猜测：\(3\)号选手不可能得第一名；学生丙猜测：\(1\)，\(2\)，\(6\)号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：\(4\)，\(5\)，\(6\)号选手都不可能获得第一名\(.\)比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有\(1\)人猜对，则此人是____________．

难度：较易

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7．
已知数列\(\left\{{a}_{n}\right\}为： \dfrac{1}{1}, \dfrac{2}{1}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{1}, \dfrac{2}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{4}{1}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{4},⋯⋯, \)依它的前\(10\)项的规律，则\({{a}_{50}}=\)__________．

难度：中等

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8．

在以下的类比推理中结论正确的是 ( )

A．“若\(a\cdot 3=b\cdot 3\)，则\(a=b\)”类比推出“若\(a\cdot 0=b\cdot 0\)，则\(a=b\)”

B．“若\((a+b)c=ac+bc\)”类比推出“\((a\cdot b)c=ac\cdot bc\)”

C．“若\((a+b)c=ac+bc\)” 类比推出“\(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\) \((c\neq 0)\)”

D．“\((ab{)}^{n}={a}^{n}{b}^{n} \)” 类比推出“\((a+b{)}^{n}={a}^{n}+{b}^{n} \)”

难度：较易

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9．

给出下列三个类比结论：

\(①(ab)^{n}=a^{n}b^{n}\)与\((a+b)^{n}\)类比，则有\((a+b)^{n}=a^{n}+b^{n}\)；

\(②\log _{a}(xy)=\log _{a}x+\log _{a}y\)与\(\sin (α+β)\)类比，则有\(\sin (α+β)=\sin α\sin β\)；

\(③(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)与\((a+b)^{2}\)类比，则有\((a+b)^{2}=a^{2}+2a·b+b^{2}\)．

其中结论正确的个数是 \((\) \()\)

A．\(0\)

B．\(1\)

C．\(2\)

D．\(3\)

难度：较易

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10． \((1)\)已知函数\(f(x)=\dfrac{ax+1}{x+2}\)在\((-2,+\infty )\)内单调递减，求实数\(a\)的取值范围是

\((2)\)\(\int_{1}^{e}{({{2}^{x}}-\dfrac{e}{x}})dx =\)

\((3)\)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字\(1\)出现在第\(1\)行\(;\)数字\(2,3\)出现在第\(2\)行\(;\)数字\(6,5,4(\)从左至右\()\)出现在第\(3\)行\(;\)数字\(7,8,9,10\)出现在第\(4\)行，依此类推，則第\(20\)行从左至右的第\(4\)个数字应是     ．

\((4)\)已知是定义在\(R\)上的函数，且满足\(①f(4)=0\)；\(②\)曲线\(y=f(x+1)\)关于点\((-1,0)\)对称；\(③\)当\(x\in (-4,0)\)时，\(f(x)={{\log }_{2}}(\dfrac{x}{{{e}^{|x|}}}+{{e}^{x}}-m+1)\)，若\(y=f(x)\)在\(x\in [-4,4]\)上有\(5\)个零点，则实数\(m\)的取值范围为         ．

难度：中等

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