知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
如图，在长方体\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)中，已知\(AD=A{{A}_{1}}=1\)，\(AB=2\)，点\(E\)是\(AB\)的中点．

\((1)\)求证：\({{D}_{1}}E\bot {{A}_{1}}D\)；

\((2)\)求直线\({{B}_{1}}C\)与平面\(DE{{D}_{1}}\)所成角的大小．

难度：较难

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3．

\(PA\)垂直于以\(AB\)为直径的圆所在的平面，\(C\)为圆上异于\(A\)、\(B\)的任一点，则下列关系不正确的是\((\) \()\)．

A．\(PA⊥BC\)

B．\(BC⊥\)平面\(PAC\)

C．\(AC⊥PB\)

D．\(PC⊥BC\)

难度：中等

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4．
如图，在四棱锥\(P\)\(\)\(ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\)\(⊥\)平面\(ABCD\)，\(PA\)\(=\)\(AD\)\(=4\)，\(AB\)\(=2.\)以\(BD\)的中点\(O\)为球心，\(BD\)为直径的球面交\(PD\)于点\(M\)．

\((1)\)求证：平面\(ABM\)\(⊥\)平面\(PCD\)；

\((2)\)求直线\(PC\)与平面\(ABM\)所成角的正切值；

\((3)\)求点\(O\)到平面\(ABM\)的距离．

难度：较易

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5．
已知正三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(A_{1}B⊥CB_{1}\)，则\(A_{1}B\)与\(AC_{1}\)所成的角为____________．

难度：难

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6．
已知正四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AB=2\)，\(AA_{1}=3\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(A_{1}C⊥BD\)；
\((\)Ⅱ\()\)求直线\(A_{1}C\)与侧面\(BB_{1}C_{1}C\)所成的角的正切值；
\((\)Ⅲ\()\)求二面角\(B_{1}-CD-B\)的正切值．

难度：较易

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7．

我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥、现有一正三棱锥\(P-ABC\)放置在平面\(α\)上，已知它的底面边长为\(2\)，高\(h\)，边\(BC\)在平面上转动，若某个时刻它在平面\(α\)上的射影是等腰直角三角形，则\(h\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\((0, \dfrac { \sqrt {6}}{3}]\)

B．\((0, \dfrac { \sqrt {6}}{6}]\)

C．\((0, \dfrac { \sqrt {6}}{6}]∪[ \dfrac { \sqrt {6}}{3},1]\)

D．\((0, \dfrac { \sqrt {6}}{3}]∪( \dfrac { \sqrt {6}}{2}\)，\(1)\)

难度：较难

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8．
如图，在长方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AD=AA_{1}=1\)，\(AB > 1\)，点\(E\)在棱\(AB\)上移动，小蚂蚁从点\(A\)沿长方体的表面爬到点\(C_{1}\)，所爬的最短路程为\(2 \sqrt {2}\)．
\((1)\)求证：\(D_{1}E⊥A_{1}D\)；
\((2)\)求\(AB\)的长度；
\((3)\)在线段\(AB\)上是否存在点\(E\)，使得二面角\(D_{1}-EC-D\)的大小为\( \dfrac {\pi }{4}.\)若存在，确定点\(E\)的位置；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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9．
如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形\((\)尺寸如图所示\()\)，\(E\)为\(VB\)的中点\(.\)求证：\(VD/\!/\)平面\(EAC\)．

难度：较易

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10．

边长为\(a\)的正方形\(ABCD\)沿对角线\(BD\)折叠成直二面角后，\(AC\)的长为\((\)　　\()\)

A．\(a\)

B．\( \dfrac {1}{2}a\)

C．\( \dfrac {a}{4}\)

D．\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}a\)

难度：难

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