如图,圆柱\(H\)横放在底面边长为\(1\) 的正六棱锥\(P-ABCDEF\)的顶点\(P\)上,\(O_{1}\)和\(O_{2}\)分别是圆柱左和右两个底面的圆心,正六棱锥\(P-ABCDEF\)底面中心为\(O\),\(PO=1\),\(M\)、\(N\)分别是圆柱\(H\)的底面\(O_{1}\)的最高点和最低点,\(G\)是圆柱\(H\)的底面\(O_{2}\)的最低点,\(P\)为\(NG\)中点,点\(M\)、\(O_{1}\)、\(N\)、\(A\)、\(O\)、\(D\)、\(G\)、\(P\)共面,点\(O_{1}\)、\(P\)、\(D\)共线,四边形\(ADGN\)为矩形.
\((1)\)求圆柱\(H\)的体积\(V\),并证明:\(MG/\!/\)平面\(PCD\);
\((2)\)作出点\(O\)在平面\(PAB\)上的正投影\(K\),并证明之.
注:正棱锥就是底面是一个正多边形,顶点在底面上的正投影为底面的中心的棱锥.