知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•青岛一模）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=
2
．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；
（Ⅲ）求二面角A-PC-B的余弦值．

难度：较易

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2．（2016春•宜昌期中）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=
2
，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：CO⊥面VAB；
（3）求三棱锥C-VAB的体积．

难度：较易

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3．（2016春•盐城校级期中）如图，四边形ABCD、ADEF为正方形，G，H是DF，FC的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：BC⊥平面CDE．

难度：较易

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4．（2016•河东区一模）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD=
6
，AP=4AF．
（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面BDF？如果存在，求
BM
BP
的值，如果不存在，请说明理由．

难度：较易

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5．已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在平面ABC上的射影为△ABC的（　　）

A．重心

B．外心

C．内心

D．垂心

难度：较易

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6．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题中，正确命题有（　　）
（a）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
（b）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l与α平行；
（c）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（d）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

难度：较易

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7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，且AC=BC=CC₁=2，M是AB₁，A₁B的交点，N是B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面AA₁B与平面A₁BC夹角的大小．

难度：较易

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8．如图，在四棱锥O-ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．
（Ⅰ）证明：DN⊥平面OAQ；
（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．

难度：较易

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9．已知在空间四边形ABCD中，AB=AC，DB=DC，点E为BC的中点，求证：BC⊥平面AED．

难度：较易

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10．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD₁的中点．
（1）求二面角B₁-MN-B的正切值；
（2）证明：PB⊥平面B₁MN；
（3）画出该正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形连成一个长方形”的条件．

难度：较易

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