知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（Ⅰ）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，AA₁=λAC，二面角C-A₁D-C₁的余弦值为
2
4
，求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

难度：较难

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2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，E是PB的中点，F是CD上的点，PH为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PH=1，AD=
2
，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积．

难度：较难

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3．（2015秋•淮南期中）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求点C到平面ABD的距离．

难度：较难

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4．

（2015秋•温州校级期中）棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是A₁B₁，BB₁的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP⊥BN的点P所形成图形的周长是（　　）

A．4

B．2+

C．3+

D．2+

难度：较难

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5．

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且EF=

，则下列结论中错误的是（　　）

A．AC⊥BE

B．△AEF的面积与△BEF的面积相等

C．EF∥平面ABCD

D．三棱锥A-BEF的体积为定值

难度：较难

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6．

（2015春•福建校级月考）已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，现将△AED沿DE翻折为△A′ED，如图是翻折过程中的一个图形，则下列四个结论：
①动直线A′F与直线DE互相垂直；
②恒有平面A′GF⊥平面BCED；
③四棱锥A′-BCED的体积有最大值；
④三棱锥A′-DEF的侧面积没有最大值．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

难度：较难

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7．如图所示，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，AA₁=2，D是AC的中点，AB⊥平面B₁C₁CB，∠BCC₁=60°．
（1）求证：AC⊥平面BDC₁；
（2）线段CC₁上是否存在动点E使得二面角B₁-BE一A₁的大小为45°？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．

难度：较难

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8．如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABE，BE=3DE，DE=3，AB⊥AE．
（I）求证：AB⊥面ADE；
（Ⅱ）求二面角A-BC-E的平面角的正弦值．

难度：较难

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9．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（1）证明：A₁C⊥平面BED；
（2）求二面角A₁-DE-B的大小的正切值．

难度：较难

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10．如图（1），已知A，B，C．P四点共面，PC上AC，AB=BC，D，F分别为AC，PC的中点，DE⊥AP于E．把平面四边形ABCP沿AC折成直二面角，如图（2）．
（1）求i正：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDF⊥平面BDE；
（3）延长AB至H，使得AB=BH，如图（3）．在AP上是否存在点Q，使得平面CHQ∥平面BDE？若存在，指出Q点位置；若不存在，说明理由．

难度：较难

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