知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图1中矩形ABCD中，已知AB=2，AD=2
2
，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60°，如图2
（1）求证：BO⊥DO；
（2）求AO与平面BOD所成角的正弦值．

难度：中等

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2．如图1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E、F分别是AB、CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如图2．

（Ⅰ）当AG+GC最小时，求证：BD⊥CG；
（Ⅱ）当2V_B-ADGE=V_D-GBCF时，求二面角D-BG-C平面角的余弦值．

难度：中等

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3．（2016•陕西模拟）如图：几何体ABCD-B₁C₁D₁中，正方形BB₁D₁D⊥平面ABCD，D₁D∥CC₁，平面D₁DCC₁与与平面B₁BCC₁所成的二面角的余弦值为
2
3
，BC=3，CD=2CC₁=2，AD=
5
，AD∥BC，M为DD₁上任意一点．
（1）当平面BC₁M⊥平面BCC₁B₁时，求DM的长；
（2）若DM=
5
4
，求直线AD与平面BC₁M所成的角的正弦值．

难度：中等

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4．在三棱锥P﹣ABC中，D为AB的中点．
（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由如下：
（2）若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．

难度：中等

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5．（2015•绍兴校级模拟）设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE=2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B为90°，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围．

难度：较难

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6．如图，在四面体P-ABC中，底面ABC是边长为1的正三角形，AB⊥BP，点P在底面ABC上的射影为H，BH=
3
3
，二面角C-AB-P的正切值为
5
．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的余弦值．

难度：中等

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7．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，E为BC中点
（Ⅰ）证明：A₁C∥平面AB₁E
（Ⅱ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅲ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB=2，求直线A₁C 与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

难度：中等

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