知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．直线
.
x y
2 1
.
=3的一个方向向量可以是．

难度：中等

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2．若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x-y+1=0相交于一点，则行列式
.
a 1
1 1
.
的值为．

难度：中等

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3．已知
.
cos75° -sinα
sin75° cosα
.
=
1
3
，则cos（30°+2α）= ．

难度：中等

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4．已知
.
sinα cosα
2 1
.
=0，则sin2α= ．

难度：中等

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5．计算
.
2 4
1 3
.
= ．

难度：较易

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6．已知矩阵M=
1 b
c 2
有特征值λ₁=4及对应的一个特征向量
e1
=
2
3
．求矩阵M及另一个特征值λ₂和特征向量
e2
．

难度：中等

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7．设已知T时矩阵
a c
b 0
所对应的变换（其中b＞0），A（1，0），且T（A）=P，若△POA的面积为
3
，∠POA=
π
3
，则a+b= ．

难度：中等

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8．把实数a，b，c，d排成
a c
b d
的形式，称为二行二列矩阵．对于点P（x，y），定义矩阵的一种运算(x，y)
a c
b d
=(ax+by，cx+dy)，并称（ax+by，cx+dy）为点P在矩阵
a c
b d
作用下的点．给出下列命题：
①点P（3，4）在矩阵
1 2
0 1
作用下的点为（3，10）；
②曲线y=x²上的点在矩阵
1 0
0 1
的作用下将满足方程y=-x²；
③方程组
a11x+a12y=b1
a21x+a22y=b2
可表示成矩阵运算（x，y）
a11 a12
a21 a22
=（b₁，b₂）；
④若曲线x²+4xy+2y²=1在
1 a
b 1
作用下变换成曲线x²-2y²=1，则a+b=2．
其中真命题的序号为．（填上所有真命题的序号）

难度：较难

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9．用行列式解关于x，y的方程组：
3mx-4y=m
3x+(m-5)y=1
（其中m∈R），并对解的情况进行讨论．

难度：较易

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10．方程
.
cosx sinx
sinx cosx
.
=0的解为．

难度：较易

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