知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知二阶矩阵M=
2 1
a b
（a，b∈R），若矩阵M属于特征值-1的一个特征向量
α1
=
-1
3
，属于特征值3的一个特征向量
α2
=
1
1
．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若向量
β
=
-3
5
，计算M⁵
β
的值．

难度：中等

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2．用行列式解关于x、y的方程组：
ax+y=a+1
x+ay=2a
（a∈R），并对解的情况进行讨论．

难度：中等

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3．已知二阶矩阵M有特征值λ₁=4及属于特征值4的一个特征向量e₁=
2
3
，并有特征值λ₂=-1及属于特征值-1的一个特征向量e₂=
1
-1
，
（1）求矩阵M；
（2）求M^-1．

难度：较难

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4．二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与点（0，-2），
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x-2y=4，求直线l的方程．

难度：较难

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5．若点A（-2，2）在矩阵M=
cosα -sinα
sinα cosα
对应变换的作用下得到的点为B（2，2），求矩阵M．

难度：较难

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6．（1）已知集合A={x|log₂（3-x）≤2}，集合B={x|
2
x+2
≥1}，求A∩B．
（2）将形如
.
a11 a12
a21 a22
.
的符号称二阶行列式，现规定
.
a11 a12
a21 a22
.
=a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁．试计算二阶行列式
.
cos
π
4
1
1 cos
π
3
.
的值．

难度：较易

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7．已知关于x、y的二元一次方程组
2x+ty=3
(t-1)x+y=t-2
（t∈R）有无穷多组解，求t的值．

难度：较易

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8．已知矩阵A=[
.
a 1
0 b
.
]把点（1，1）变换成点（2，2），求a、b的值求曲线C：x²+y²=1在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程．

难度：中等

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9．已知
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
，则在什么情况下方程组无解、唯一解、无数解？

难度：较易

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10．已知
x+3
2y
-2
3+y
x-3
=
0
0
，求x+y的值．

难度：较易

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