知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}，{b_n}满足a_n+1-a_n=b_n，b_n+1=2b_n（其中n∈N^*），a₁≠b₁，且b₁≠0，若
an+4
bn+4
=M
an
bn
，则二阶矩阵M^-1= ．

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2．若矩阵
a b
c d
的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式
.
a b
c d
.
的值为正数的概率为．

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3．已知
sinα 0
0 -
2
cosβ
为单位矩阵，且α、β∈[
π
2
，π]，则tan（α+β）= ．

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4．已知二阶矩阵M有特征值λ₁=4及属于特征值4的一个特征向量e₁=
2
3
，并有特征值λ₂=-1及属于特征值-1的一个特征向量e₂=
1
-1
，
（1）求矩阵M；
（2）求M^-1．

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5．二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与点（0，-2），
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x-2y=4，求直线l的方程．

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6．若点A（-2，2）在矩阵M=
cosα -sinα
sinα cosα
对应变换的作用下得到的点为B（2，2），求矩阵M．

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7．已知矩阵A=
3 2
2 1
的逆矩阵B=
1 0
1 1
．
（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵；
（Ⅱ）若矩阵X满足AX=B，求矩阵X．

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8．已知t＞-1，当x∈[-t，t+2]时，函数y=
.
x |x|
4 |x|
.
的最小值为-4，则t的取值范围是．

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9．把实数a，b，c，d排成
a c
b d
的形式，称为二行二列矩阵．对于点P（x，y），定义矩阵的一种运算(x，y)
a c
b d
=(ax+by，cx+dy)，并称（ax+by，cx+dy）为点P在矩阵
a c
b d
作用下的点．给出下列命题：
①点P（3，4）在矩阵
1 2
0 1
作用下的点为（3，10）；
②曲线y=x²上的点在矩阵
1 0
0 1
的作用下将满足方程y=-x²；
③方程组
a11x+a12y=b1
a21x+a22y=b2
可表示成矩阵运算（x，y）
a11 a12
a21 a22
=（b₁，b₂）；
④若曲线x²+4xy+2y²=1在
1 a
b 1
作用下变换成曲线x²-2y²=1，则a+b=2．
其中真命题的序号为．（填上所有真命题的序号）

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10．已知二阶矩阵M满足M
1
0
=
2
0
，M
1
1
=
-2
-2
，求M⁴．

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