知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是
x=1-
2
2
t
y=2+
2
2
t
（t为参数）．
（1）若圆C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-15=0，求直线l被圆C所截得的弦长；
（2）若矩阵M=
2 1
1 a
的一个特征值是3，求直线l在M对应的变换作用下的直线方程．

难度：中等

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2．已知矩阵
sinα+cosα 0
sinβ+cosβ 1
为单位向量，且α，β∈[
π
2
，π），sin（α-β）的值．

难度：中等

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3．如图，向量
OA
和
OB
分别经过矩阵M变换成
OA′
成和
OB′
．这个矩阵M将曲线y=sin（x+
π
3
）变换成曲线y=f（x），求f （x）在区间[-
π
3
，2π]上的最大值和最小值．

难度：中等

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4．本题包括高考A，B，C，D四个选题中的B，C两个小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
1 1
2 1
，向量
β
=
1
2
．求向量
α
，使得A2
α
=
β
．
C．选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-
π
4
)．
（1）求直线l的倾斜角；
（2）若直线l与曲线l交于A、B两点，求AB．

难度：中等

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5．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=
a    1
c    0
的一个特征值为-l，属于它的一个特征向量e1=
  1
-3
．
（1）求矩阵M；
（2）若点P（1，1）经过矩阵M所对应的变换得到点Q，求点Q的坐标．

难度：中等

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6．已知二阶矩阵M满足M
1
0
=
1
0
，M
1
1
=
2
2
，求M2
1
-1
．

难度：中等

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7．（1）已知矩阵M=
2 0
0
1
2
，矩阵M对应的变换把曲线y=x²变为曲线C，求C的方程．
（2）已知a，b，c为正实数，求证：
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
+abc≥2
3
．

难度：中等

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8．若
1 3
0 1
sinα
cosα
=
3
1
，则α= ．

难度：中等

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9．二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．设直线l在变换M作用下得到了直线m：x-y=4，求l的方程．

难度：中等

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10．二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．
（1）求矩阵M；
（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x-y=4，求l的方程．

难度：中等

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