知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵M=
0 a
b 0
满足：Mα_i=λ_iα_i，其中λ_i（i=1，2）是互不相等的实常数，α_i（i=1，2）是非零的平面列向量，λ₁=1，α₂=
1
1
，求矩阵M．

难度：较难

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2．定义运算
a b
c d
•
e
f
=
ae+ bf
ce+ df
，如
1 2
0 3
•
4
5
=
14
15
．已知α+β=π，α-β=
π
2
，则
sinα cosα
cosα sinα
•
cosβ
sinβ
= ．

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3．已知矩阵M=
2  4
1  3
，N=
2  0
1  0
，
（Ⅰ）求二阶矩阵X，使MX=N；
（Ⅱ）求圆x²+y²=1在矩阵X变换下的曲线方程．

难度：较难

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4．二元一次方程组
2 2
1 3
x
y
=λ
x
y
有非零解，则λ= ．

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5．若二阶矩阵M满足：M
1 2
3 4
=
5 8
4 6
．
（Ⅰ）求二阶矩阵M；
（Ⅱ）若曲线C：x²+2xy+2y²=1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．

难度：较难

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6．求使等式[
1 2
2 4
]=[
1 0
0 2
]M[
1 0
0 -1
]成立的矩阵M．

难度：较难

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7．已知二阶矩阵M满足：M
0 1
1 2
=
1 2
0 1
．
（Ⅰ）求矩阵M²；
（Ⅱ）求M²⁰¹⁴
2
-4
．

难度：较难

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8．已知矩阵A=
2 -1
-4 3
，B=
4 -1
-3 1
，满足AX=B的二阶矩阵X= ．

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9．定义
xn+1
yn+1
=
1 0
1 1
xn
yn
为向量
OPn
=(xn，yn)到向量
OPn+1
=(xn+1，yn+1)的一个矩阵变换，其中O是坐标原点，n∈N^*．已知OP₁=（2，0），则OP₂₀₁₁的坐标为．

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10．（1）（矩阵与变换）已知二阶矩阵M=
0 -1
2 3
．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）设向量
α
=
-1
3
，求M100
α
．
（2）（坐标系与参数方程）
已知曲线C₁的参数方程为
x=1+2cosθ
y=-1+2sinθ
（θ是参数），曲线C₂的极坐标方程为θ=
π
4
（ρ∈R）．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C₁和曲线C₂相交于A，B两点，求弦长|AB|．

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