知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（矩阵与变换）
已知矩阵M=
1 0
0 2
，N=
1
2
0
0 1
，矩阵MN对应的变换把曲线y=sinx变为曲线C，求C的方程．

难度：较难

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2．计算：
1 3
2 4
-1 1
0 4
= ．

难度：中等

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3．已知曲线C：x²+y²=1，对它先作矩阵A=
1 0
0 2
对应的变换，再作矩阵B=
0 b
1 0
对应的变换，得到曲线C：
x2
4
+y²=1．则实数b= ．

难度：较难

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4．把实数a，b，c，d排成如的形式，称之为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点（ax+by，cx+dy），则点（2，3）在矩阵的作用下变换成点．

难度：中等

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5．矩阵，，则2A﹣3B= ．

难度：中等

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6．设数列{a_n}，{b_n}满足a_n+1=2a_n+3b_n，b_n+1=2b_n，且满足，试求二阶矩阵M．

难度：中等

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7．已知矩阵A=[f（x）]，B="[x" 1﹣x]，，若A=BC，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．

难度：中等

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8．已知矩阵M=[]N=[]．
（1）求矩阵MN；
（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q（0，1），求点P的坐标．

难度：中等

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9．本小题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知e1=
1
1
是矩阵M=
a
1
0
b
属于特征值λ₁=2的一个特征向量．
（I）求矩阵M；
（Ⅱ）若a=
2
1
，求M¹⁰a．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，A（l，0），B（2，0）是两个定点，曲线C的参数方程为
AB
为参数）．
（I）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）以A（l，0为极点，|
AB
|为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
（I）试证明柯西不等式：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²（a，b，x，y∈R）；
（Ⅱ）若x²+y²=2，且|x|≠|y|，求
1
(x+y
)
2

+
1
(x-y
)
2

的最小值．

难度：较难

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10．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）已知矩阵M=
1 a
b 1
，N=
c 2
0 d
，且MN=
2 0
-2 0
，
（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．
（2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
x=3-
2
2
t
y=
5
-
2
2
t
（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2
5
sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，
5
)，
求|PA|+|PB|．
（3）已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求≤

难度：难

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