知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设n阶方阵

任取A_n中的一个元素，记为x₁；划去x₁所在行与列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n-1阶方阵A_n-1，任取A_n-1中一个元素，记为x₂，划去x₂所在行与列，…将最后剩下的一个元素记为x_n，记S_n=x₁+x₂+…+x_n，若n=3时，则S₃= ，若n=k时，则S_k= ．

难度：较难

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2．设n阶方阵An=
1 3 5 … 2n-1
2n+1 2n+3 2n+5 … 4n-1
4n+1 4n+3 4n+5 … 6n-1
… … … … …
2n(n-1)+1 2n(n-1)+3 2n(n-1)+5 … 2n2-1

任取A_n中的一个元素，记为x₁；划去x₁所在行与列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n-1阶方阵A_n-1，任取A_n-1中一个元素，记为x₂，划去x₂所在行与列，…将最后剩下的一个元素记为x_n，记S_n=x₁+x₂+…+x_n，
若n=3时，则S₃= ，若n=k时，则S_k= ．

难度：较难

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3．定义如下运算：
x11 x12 x13 … x1n
x21 x22 x23 … x2n
x31 x32 x33 … x3n
…
xm1 xm2 xm3 … xmn
×
y11 y12 y13 … y1k
y21 y22 y23 … y2k
y31 y32 y33 … y3k
…
yn1 yn2 yn3 … ynk
=
z11 z12 z13 … z1k
z21 z22 z23 … z2k
z31 z32 z33 … z3k
…
zmk zmk zmk … zmk

其中z_ij=x_i1y_1j+x_i2y_2j+x_i3y_3j+…+x_iny_nj．（1≤i≤m，1≤j≤n，i．j∈N^*）．
现有n²个正数的数表A排成行列如下：（这里用a_ij表示位于第i行第j列的一个正数，i，j∈N^*）
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
a31 a32 a33 … a3n
…
an1 an2 an3 … ann
，其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，且各个等比数列的公比相同，若a24=1，a42=
1
8
，a43=
3
16
，
（1）求a_ij的表达式（用i，j表示）；
（2）若
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
a31 a32 a33 … a3n
…
an1 an2 an3 … ann
×
1 3
2 32
3 33
⋮ ⋮
n 3n
=
b11 b12
b21 b22
b31 b32
⋮ ⋮
bn1 bn2
，求b_i1．b_i2（1≤i≤n，用i，n表示）

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