知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数 $\text{[math]}$ ，
（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

难度：中等

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2．设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1；
（2）判断f（x）在R上的单调性；
（3）设集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围．

难度：中等

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3．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）若f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}， $B%3D%5C%7Bx%7Cf%28%20%5Cfrac%20%7B%28a%2B1%29x-1%7D%7Bx%2B1%7D%29%EF%BC%9E0%EF%BC%8Ca%E2%88%88R%5C%7D$ ，A∩B=∅，求实数a的取值范围．

难度：中等

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4．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Csqrt%20%7Bx-1%7D$
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明．

难度：易

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5．已知函数f（x）=
-2x2-4x+1， x≤0
x+1， x＞0.

（1）计算f（f（log2
1
4
））的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=f（x）+c，若函数g（x）有三个零点，求实数c的取值范围．

难度：中等

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6．已知函数f(x)=a-
2
2x+1
(a∈R)是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，（不需证明）
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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7．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7Bx%7D-a%5E%7B-x%7D%7D%7Ba-1%7D$ （a＞0，且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性和单调性；
（2）已知p：不等式af（x）≤2b（a+l）对任意x∈[-1，1]恒成立；q：函数g（x）=lnx-bx+1（b∈R）有零点，若p或q为真，p且q为假，求实数b的取值范围．

难度：较易

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8．已知奇函数y=f（x）定义域是R，当x≥0时，f（x）=x（1-x）．
（1）求出函数y=f（x）的解析式；
（2）写出函数y=f（x）的单调递增区间．（不用证明，只需直接写出递增区间即可）

难度：中等

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9．已知幂函数f（x）=x^{（2k-1）（3-k）}（k∈z）是偶函数且在（0，+∞）上为增函数．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx是单调函数，求m的取值范围．

难度：中等

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10．如图直角梯形OABC位于平面直角坐标系中，其中OC=1，BC=1，OA=2，动点P从C出发沿折线段CBA运动到A（包括端点），设点P的横坐标为x，函数f（x）=
OP
•
PA
．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）出函数y=f（x）的草图，并求f（x）的单调递增区间；
（3）若函数y=f（x）-c有零点，求c的取值范围．

难度：中等

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