知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知函数f（x）=4sin²（
π
4
+
x
2
）•sinx+（cosx+sinx）（cosx-sinx）-1．
（1）化简f（x）；
（2）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间[-
π
2
，
2π
3
]上是增函数，求ω的取值范围；
（3）若函数g（x）=
1
2
[f(2x)+af(x)-af(
π
2
-x)-a]-1在[-
π
4
，
π
2
]的最大值为2，求实数a的值．

难度：较难

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3．已知f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2^x-1，函数g（x）=x²-2x+m，如果对于任意x₁∈[-2，2]，存在x₂∈[-2，2]，使得g（x₂）=f（x₁），则实数m的取值范围是（　　）

A．（-∞，-2）

B．（-5，-2）

C．[-5，-2]

D．（-∞，-2]

难度：较难

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4．定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）-f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，其中称T为函数f（x）的广义周期，M称为周距．
（1）证明函数f（x）=x+（-1）^x（x∈Z）是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M的值；
（2）设函数y=g（x）是周期T=2的周期函数（即满足g（x+2）=g（x）），当函数f（x）=-2x+g（x）在[1，3]上的值域为[-3，3]时，求f（x）在[-9，9]上的最大值和最小值．

难度：较难

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5．设函数f(x)=log2(
1+ax
1-x
)，若f(
1
3
)=1
（1）求f（x）的解析式并判断其奇偶性；
（2）当x∈[-1，0）时，求f（3^x）的值域；
（3）已知函数g(x)=log
2
k
1-x
，若存在x∈[
1
2
，
2
3
]使不等式 f（x）＞g（x）成立，求k的范围．

难度：中等

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6．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”，给出下列四个函数：
①f（x）=sin（
π
2
x）
②f（x）=|2^x-1|
③f（x）=2x²-1
④f（x）=log₂（2x-2）．
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的序号为．

难度：较难

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7．已知分段函数f（x）=
2x(x≤0)
ax2-(a+1)x+c(x≥0)
．
（1）求实数c的值；
（2）当a=1时，求f[f（-1）]的值与函数f（x）的单调增区间；
（3）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=
4log2(8-x)-4a
4
．
（Ⅰ）若f（4）=6，求a的值；
（Ⅱ）当x∈[0，b]（b＞0）时，函数f（x）的值域是[0，3b]，求a，b的值；
（Ⅲ）设函数g（x）=
f(x)，(x＜4)
(3a-1)x+12a，(x≥4)
，若g（x）在（-∞，+∞）上是减函数，求a的取值范围．

难度：中等

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9．已知定义在R上的函数f（x）满足当∈[2k-1，2k+1）（k∈Z）时f（x）=（x-2k）²，若y=f（x）与g（x）=log_ax图象上关于y轴对称的点有3对，则a的取值范围是（　　）

A．（0，2）

B．（1，3）

C．（2，4）

D．（3，5）

难度：较易

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10．已知函数f（x）=
1-|x-1|，x≤2
-
1
4
x2+2x-3，x＞2
，如在区间（1，+∞）上存在n（n≥2，n∈N^*）个不同的数x₁，x₂，…x_n，使得
f(x1)
x1
=
f(x2)
x2
=…=
f(xn)
xn
成立，则n的取值集合是．

难度：较易

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