知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知不等式xy≤ax²+2y²对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，则实数a的取值范围是．

难度：中等

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2．已知过原点O作函数f（x）=e^x（x²-x+a）的切线恰好有三条，切点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃．
（Ⅰ）求实数a的取值范围．
（Ⅱ）求证：x₁＜-3．

难度：中等

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3．不等式
ax
x-1
＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，则a的值为．

难度：中等

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4．巳知函数f（x）=x²-2ax-2alnx（x＞0，a∈R，g（x）=ln²x+2a²+
1
2
．
（1）证明：当a＞0时，对于任意不相等的两个正实数x₁、x₂，均有
f( x1)+f(x2)
2
＞f（
x1+x2
2
）成立；
（2）记h（x）=
f(x)+g(x)
2
，
（i）若y=h′（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（ii）证明：h（x）≥
1
2
．

难度：较难

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5．不等式(-1)na＜5+
(-1)n+1
2n
对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是．

难度：较难

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6．若x，y，a∈R⁺，且

≤a

x+y

恒成立，则a的最小值是（　　）

A．

B．

C．1

D．

难度：中等

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7．已知x＞0，y＞0，xy=x+2y，若xy≥m+2恒成立，则m的范围是．

难度：中等

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8．（理）已知函数f(x)=2+
1
a
-
1
a2x
，实数a∈R且a≠0．
（1）设mn＞0，判断函数f（x）在[m，n]上的单调性，并说明理由；
（2）设0＜m＜n且a＞0时，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值；
（3）若不等式|a²f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求a的范围．

难度：较难

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9．设h(x)=x+
m
x
，x∈[
1
4
，5]，其中m是不等于零的常数，
（1）（理）写出h（4x）的定义域；
（文）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）（文、理）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f₁（x）=minf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]），f₂（x）=maxf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]）．其中，minf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最小值，maxf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，f₂（x）=1，x∈[0，π]．
（理）当m=1时，设M(x)=
h(x)+h(4x)
2
+
|h(x)-h(4x)|
2
，不等式t≤M₁（x）-M₂（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h₁（x）-h₂（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）+2=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）=5，求不等式f（a²-2a-2）＜3的解．

难度：较难

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