知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知命题p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．

难度：较易

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2．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

难度：较易

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3．
判断下列命题的真假

$(1)$已知$a,b,c,d\in R,$ 若$a\neq c$，或$b\neq d$，则$a+b\neq c+d$
$(2)$$\forall x\in N,{{x}^{3}} > {{x}^{2}}$
$(3)$若$m > 1,$ 则方程${{x}^{2}}-2x+m=0$ 无实数根

$(4)$存在一个三角形没有外接圆

难度：易

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4．

对于下述命题$p$，写出“$\neg p$”形式的命题，并判断“$p$”与“$\neg p$”的真假：

$(1)$ $p:91\in (A\bigcap B)($其中全集$U={{N}^{*}}$，$A=\{x|x$是质数$\}$，$B=\{x|x$是正奇数$\}).$

$(2)$ $p:$有一个素数是偶数；．

$(3)$ $p:$任意正整数都是质数或合数；

$(4)$ $p:$三角形有且仅有一个外接圆．

难度：中等

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5．
已知命题$p$：$x_{1}$和$x_{2}$是方程$x^{2}-mx-2=0$的两个实根，不等式$a^{2}-5a-3\geqslant |x_{1}-x_{2}|$对任意实数$m∈[-1,1]$恒成立；命题$q$：不等式$ax^{2}+2x-1 > 0$有解，若命题$p$是真命题，命题$q$是假命题，求$a$的取值范围．

难度：较易

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6．
已知函数$f(x)$是$(-∞,+∞)$上的增函数，$a$，$b∈R$，命题：若$a+b\geqslant 0$，则$f(a)+f(b)\geqslant f(-a)+f(-b)$
判断此命题的逆命题是否成立，并用反证法证明你的结论．

难度：较易

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7．
在平面直角坐标系$xOy$中，直线$l$与抛物线$y^{2}=2x$相交于$A$、$B$两点．
$(1)$求证：“如果直线$l$过点$T(3,0)$，那么$ \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=3$”是真命题；
$(2)$写出$(1)$中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

难度：较易

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8．
已知$f(x)$是$(-∞,+∞)$上的增函数，$a$，$b∈R$，对命题“若$a+b\geqslant 0$，则$f(a)+f(b)\geqslant f(-a)+f(-b).$”
$(1)$写出其逆命题，判断其真假
$(2)$写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

难度：易

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9．
已知$f(x)$是$(-∞,+∞)$上的增函数，$a$，$b∈R$，对命题：“若$a+b\geqslant 0$，则$f(a)+f(b) \geqslant f(-a)+f(-b)$”$.$写出其逆否命题，先判断逆否命题的真假，再证明你的结论．

难度：难

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10．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q：“∃x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

难度：较易

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