知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x²-4x．
（1）设g（x）=（a-2）x，若∀x∈[
1
e
，e]，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．
（2）定义：若函数m（x）的图象上存在两点A、B，设线段AB的中点为P（x₀，y₀），若m（x）在点Q（x₀，m（x₀））处的切线l与直线AB平行或重合，则函数m（x）是“中值平衡函数”，切线l叫做函数m（x）的“中值平衡切线”．试判断函数f（x）是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数f（x）的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=4lnx-x+
3
x
，g（x）=2x²-bx+20，若对于任意x₁∈（0，2），都存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数b的取值范围是．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x²，若x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，求a的值．

难度：中等

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4．已知f（x）=x³-
1
2
x²-2x+a，对任意x∈[-1，2]有f（x）＜3a²，求a的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=（x-k）e^x（k∈R）．
（1）若k=0，求函数f（x）的极值；
（2）求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=lnx+ax²+1的图象在点（1，f（1））处切线的斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）证明：存在正实数λ，使得|
1-x
f(x)-lnx
|≤λ恒成立．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=mlnx（m∈R）．
（1）若函数y=f（x）+x的最小值为0，求m的值；
（2）设函数g（x）=f（x）+mx²+（m²+2）x，试求g（x）的单调区间．

难度：中等

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8．函数f（x）=x-2lnx在区间[1，e]上的最小值和最大值分别是（　　）

A．1和e-2

B．2-2ln2和e-2

C．-1和e-2

D．2-2ln2和1

难度：中等

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9．己知函数f（x）=ax+
a
x
-3lnx．
（1）当a=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[1，e]上为单调函数，求实数a的取值范围；
（3）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对各自定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b成立，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．当a=0时，令g（x）=
-2e
3
f（x）（e为自然对数的底数），h（x）=x²（x∈R），则函数g（x）和h（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．已知函数g（x）=ax-
a
x
-5lnx，函数h（x）=x²-m．
（1）当a=-1时，求函数f（x）=g（x）+6lnx+x的最小值；
（2）试讨论函数p（x）=h（x）-mx在区间[0，4]上的单调性；
（3）当a=2时，若∃x₁∈（0，1），对∀x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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