知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=e^x-alnx．
（1）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e-1）x+1，求a；
（2）当1＜a＜e²时，证明：f（x）＞0．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=ax²-
1
2
x+2ln（x+1）
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-ln（x+1），当x∈[0，+∞）时，h（x）≤
1
2
x恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=ax²-blnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=1；
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

难度：中等

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4．已知曲线f（x）=ke^-x在点x=0处的切线与直线x-2y-1=0垂直，若x₁，x₂是函数g（x）=f（x）-|lnx|的两个零点，则（　　）

A．

＜x₁x₂＜

B．

＜x₁x₂＜1

C．

＜x₁x₂＜1

D．e＜x₁x₂＜e²

难度：中等

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5．已知函数f（x）=alnx+
1
x
．a∈R．
（1）若f（x）有极值，求a的取值范围．
（2）若f（x）有经过原点的切线，求a的取值范围及切线的条数，并说明理由．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．

难度：较难

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7．已知函数f(x)=lnx-
a(x-1)
x+1
，a∈R．
（Ⅰ）若x=3是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：
m-n
lnm-lnn
＜
m+n
2
．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=mx-
m
x
，g（x）=3lnx．
（1）当m=4时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若x∈（1，
e
]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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9．设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=
2x2
ex
．已知曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（2，3）
（1）求实数a的值；
（2）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k，如果不存在，请说明理由；
（3）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min（p，q）表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=
1
2
x²-mlnx，g（x）=
1
2
x²-2x，F（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）当m＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当m=-1时，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=F（x）相切？说明理由．

难度：较难

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