知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
1
2
x2-2ax+1+lnx
（Ⅰ）当a=0时，若函数f（x）在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）的极大值点为x₁，证明：x₁lnx₁-ax₁²＞-1．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+
1
2
x2-bx．
（1）求实数a的值；
（2）设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）的两个极值点，记t=
x1
x2
，若b≥
13
3
，
①t的取值范围；
②求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=-x³-mx+
2
2
（m＜0），g（x）=-e^-x-1+1（其中e为自然对数的底数）．
（1）当实数m为何值时，直线y=2x+
2
2
与曲线y=f（x）相切；
（2）记函数h（x）=
f(x)，(f(x)≤g(x))
g(x)，(g(x)＜f(x))
x∈R，当m＞-1-
2
2
时，试讨论函数h（x）的零点个数．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=x（a+lnx）（a∈R）
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值．
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处切线的斜率为3，且2f（x）-（b+1）x+b＞0对任意x＞1都成立，求整数b的最大值．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=x+alnx，g（x）=f（x）+
1
2
x2-bx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（3）在（2）的条件下，设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）的两个极值点，记t=
x1
x2
，若b≥
13
3
，t的取值范围．

难度：中等

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6．曲线f(x)=
xlnx
ex
在点（1，f（1））处的切线方程为．

难度：较易

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7．已知曲线f（x）=x+

在点（1，f（1））处的切线的斜率为-1，则函数f（x）在（0，+∞）上的最小值是（　　）

A．2

B．2

C．

D．1

难度：较易

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8．已知函数f（x）=（a-1）x+xlnx在点（1，f（1））处的切线斜率为1．
（Ⅰ）求g（x）=
f(x)
x-1
的单调区间；
（Ⅱ）若m＞n＞1，求证：
m n
n m
＞
n
m
．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，若数列{

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅的值为（　　）

A．

4030

4031

B．

2014

4029

C．

2015

4031

D．

4029

4031

难度：中等

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10．已知函数f（x）=ln（1+x）-x+
k
2
x2（k＞0），
（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当k≠1时，求函数f（x）的单调区间．

难度：较难

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