知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ x²+e^x-xe^x
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较易

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2．已知函数f（x）=2ax+bx-1-2lnx（a∈R）．
（1）当b=0时，讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若对∀α∈[1，3]，∀x∈（0，+∞），f（x）≥2bx-3恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当x＞y＞e-1时，求证：e^xln（y+1）＞e^yln（x+1）．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=x- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ax²-ln（1+x），其中a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

难度：较易

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4．已知函数f（x）=alnx+ $%20%5Cfrac%20%7B1-x%5E%7B2%7D%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D$ ，a∈R．
（1）若f（x）的最小值为0，求实数a的值；
（2）证明：当a=2时，不等式f（x）≥ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ -e^1-x恒成立．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=1nx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当x＞0时， $f%28x%29%E2%89%A51-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ ；
（Ⅲ）若x-1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．

难度：较易

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6．已知函数f（x）=alnx+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%2B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D$ +1．
（1）当a=- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 时，求f（x）在区间 $%5B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%7D%EF%BC%8Ce%5D$ 上的最大值与最小值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）当-1＜a＜0时，任意x＞0有f（x）＞1+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7B2%7Dln%28-a%29$ 恒成立，求a的取值范围．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=e^x（e^x-a）-a²x．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

难度：较易

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8．已知f（x）=lnx-ax，（a∈R），g（x）=-x²+2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的x₁∈[1，e]，总存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂），求实数a的取值范围．

难度：较易

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9．已知函数f（x）=e^x-kx，x∈R，k为常数，e是自然对数的底数．
（Ⅰ）当k=e时，证明f（x）≥0恒成立；
（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．

难度：较易

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10．直线y=m分别与曲线y=2（x+1），与y=x+lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为 ______ ．

难度：较易

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