知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=e^1-x（-a+cosx），a∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在[0，π]存在单调增区间，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（
π
2
）=0，证明：对于∀x∈[-1，
1
2
]，总有f（-x-1）+2f′（x）•cos（-x-1）＞0．

难度：中等

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2．已知函数f(x)=
1
2
x2+(1-a)x-alnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a＜0，若对∀x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范围．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-
1
2
处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）（n∈N^*）；
（Ⅲ）设g（x）=b（e^x-x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．

难度：较难

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4．请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/m²、100元/m²，问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？

难度：中等

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