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          共50条信息

            • 1．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(|a_{n+1}-a_{n}|=p^{n}\)，\(n∈N*\)．
              \((1)\)若\(p=1\)，写出\(a_{4}\)的所有值；
              \((2)\)若数列\(\{a_{n}\}\)是递增数列，且\(a_{1}\)，\(2a_{2}\)，\(3a_{3}\)成等差数列，求\(p\)的值；
              \((3)\)若\(p= \dfrac {1}{2}\)，且\(\{a_{2n-1}\}\)是递增数列，\(\{a_{2n}\}\)是递减数列，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式．
              难度：中等
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            • 2．
              已知等差数列\(\{a_{n}\}\)和等比数列\(\{b_{n}\}\)中，\(a_{1}=b_{1}=1\)，\(a_{2}=b_{2}\)，\(a_{4}+2=b_{3}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)如果\(a_{m}=b_{n}(n∈N^{*})\)，写出\(m\)，\(n\)的关系式\(m=f(n)\)，并求\(f(1)+f(2)+…+f(n)\)．
              难度：较易
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            • 3．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)，其前\(n\)项和为\(\{S_{n}\}\)，满足\(a_{1}=2\)，\(S_{n}=λna_{n}+μa_{n-1}\)，其中\(n\geqslant 2\)，\(n∈N*\)，\(λ\)，\(μ∈R\)．
              \((1)\)若\(λ=0\)，\(μ=4\)，\(b_{n}=a_{n+1}-2a_{n}(n∈N*)\)，求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等比数列；
              \((2)\)若数列\(\{a_{n}\}\)是等比数列，求\(λ\)，\(μ\)的值；
              \((3)\)若\(a_{2}=3\)，且\(λ+μ= \dfrac {3}{2}\)，求证：数列\(\{a_{n}\}\)是等差数列．
              难度：中等
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            • 4． 已知等差数列{an}中，a10=30，a20=50．
              （1）求数列{an}通项；
              （2）若记，求数列{bn}的前n项和Sn．
              难度：较易
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            • 5．

              已知各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，且\(a_{n+1}^{2}{{a}_{n}}+{{a}_{n+1}}a_{n}^{2}+a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}=0\)．

              \((1)\)求\(a_{2}\)，\(a_{3}\)的值；

              \((2)\)求证：\(\{\dfrac{1}{{{a}_{n}}}\}\)是等差数列；

              \((3)\)若\({{b}_{n}}=\dfrac{{{2}^{n}}}{{{a}_{n}}}+{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和．

              难度：中等
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            • 6．
              已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前三项为\(a-1\)，\(4\)，\(2a\)，记前\(n\)项和为\(S_{n}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)设\(S_{k}=2550\)，求\(a\)和\(k\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}= \dfrac {S_{n}}{n}\)，求\(b_{3}+b_{7}+b_{11}+…+b_{4n-1}\)的值．
              难度：较难
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            • 7．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}(n=1,2,3,…)\)．
              \((1)\)若\(b_{n}=10-n\)，求\(a_{16}-a_{5}\)的值；
              \((2)\)若\(b_{n}=(-1)^{n}(2^{n}+2^{33-n})\)且\(a_{1}=1\)，则数列\(\{a_{2n+1}\}\)中第几项最小？请说明理由；
              \((3)\)若\(c_{n}=a_{n}+2a_{n+1}(n=1,2,3,…)\)，求证：“数列\(\{a_{n}\}\)为等差数列”的充分必要条件是“数列\(\{c_{n}\}\)为等差数列且\(b_{n}\leqslant b_{n+1}(n=1,2,3,…)\)”．
              难度：难
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            • 8．
              数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=1(n∈N^{*})\)，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=3..\)
              \((1)\)求证：\(\{a_{n+1}-a_{n}\}\)是等差数列；
              \((2)\)求数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：中等
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            • 9．

              在数列\(\{\)\(x_{n}\)\(\}\)中，，且\(x\)\({\,\!}_{2}= \dfrac{2}{3} \)，\(x\)\({\,\!}_{4}= \dfrac{2}{5} \)，则\(x\)\({\,\!}_{10}=\)      ；

              难度：中等
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            • 10．

              已知\(f(x)\) 是定义在\(R\) 上的不恒为零的函数，且对于任意的\(a,b∈R \)，满足\(f(a,b)=af(b)+bf(a) \)，\(f(2)=2\)，数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\) 满足\({a}_{n}= \dfrac{f({2}^{n})}{{2}^{n}}(n∈{N}^{*}) \)．

              \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\) 的通项公式；

              \((2)\)若存在正整数\(n\in [1,10]\) ，使得\(m{{a}_{n}}^{2}+2{{a}_{n}}-2m-1 < 0\) 成立，求实数\(m\) 的取值范围。

              难度：难
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