知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设m个正数a₁，a₂，…，a_m（m≥4，m∈N^*）依次围成一个圆圈．其中a₁，a₂，a₃，…，a_k-1，a_k（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，而a₁，a_m，a_m-1，…，a_k+1，a_k是公比为q的等比数列．
（1）若a₁=d=1，q=2，k=8，求数列a₁，a₂，…，a_m的所有项的和S_m；
（2）若a₁=d=q=3，m＜2015，求m的最大值；
（3）当q=2时是否存在正整数k，满足a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=3（a_k+1+a_k+2+…+a_m-1+a_m）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．设{a_n}的公比q的等比数列．
（1）推导{a_n}的前n项和公式；
（2）设q≠1，证明数列{a_n+1}不是等比数列．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}的首项a1=
2
3
，an+1=
2an
an+1
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明：数列{
1
an
-1}是等比数列；
（Ⅱ）数列 {
2n
an
}的前n项和S_n．

难度：中等

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4．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n-2n对n∈N^*成立，
（1）证明数列{a_n+2}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}与{b_n}满足：a₁=1，b_n=
3+(-1)n
2
且a_nb_n+1+a_n+1b_n=1+（-2）ⁿ，
（1）求a₂，a₃的值：
（2）令c_k=a_2k+1-a_2k-1，k∈N^*，证明：{c_k}是等比数列．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=4，满足a_n+2=
5
3
a_n+1-
2
3
a_n
（I）设b_n=a_n+1-a_n，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的前n项和S_n=a（bⁿ-1）（a≠0，b≠0且b≠1），证明：{a_n}是等比数列．

难度：较易

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8．已知数列{α_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=
2
3
a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数．
（1）对任意实数λ，证明数列{α_n}不是等比数列；
（2）若数列{b_n}是等比数列，求λ的取值范围；
（3）若a_n＜3n对一切n∈N^*成立，L求λ的取值范围．

难度：中等

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9．数列{α_n}的通项公式a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=
an
4
，求b_n的通项公式并分析{b_n}是什么数列．

难度：较易

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10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2．求证：{a_n+1-2a_n}为等比数列．

难度：中等

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