知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}的所有项都是正数，前n项和为S_n，已知点P_n（a_n，S_n）（n∈N⁺）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）已知a₁+a₆=66，a₂a₅=128，求b的值．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（2）设b_n=
2n-1
an•an+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明：T_n＜
1
2
．

难度：中等

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3．在数列{a_n}中，a1=
5
3
，且3a_n+1=a_n+2．
（1）设b_n=a_n-1，证明：{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}满足a₁=
1
2
，a_n=
an-1
2-an-1
（n≥2）．
（1）求证：{
1
a n
-1}为等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=
2n-1
an
，求{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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5．若数列{a_n}中，a₁=
1
3
，a_n+1=
n+1
3n
a_n
（Ⅰ）证明：{
an
n
}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜
3
4
．

难度：中等

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6．数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+a_n=-
1
2
n²-
3
2
n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{（2n-3）b_n}的前n项和T_n，并证明T_n∈[-
1
2
，1)．

难度：较难

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7．数列{a_n}中，an+1=
an2
2an-2
，n∈N^*．
（I）若a1=
9
4
，设bn=log
1
3
an-2
an
，求证数列{b_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）若a₁＞2，n≥2，n∈N，用数学归纳法证明：2＜an＜2+
a1-2
2n-1
．

难度：较难

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8．对于2×2的方阵，定义如下的乘法：
a b
c d
×
e f
g h
=
ae+bg af+bh
ce+dg cf+dh
，并设
1 4
2 3
=
a1 b1
c1 d1
，
1 4
2 3
×
an bn
cn dn
=
an+1 bn+1
cn+1 dn+1
（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）证明：数列{a_n+2c_n}是等比数列；
（Ⅱ）证明：存在实数λ，使得数列{a_n-λ•5ⁿ}为等比数列，列，并求出{a_n}的通项公式．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}满足：a₁=
3
2
，且a_n=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N^*）．证明：{1-
n
an
}为一个等比数列，求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：a₁=a（a≠2，a∈R），a_n+1=3S_n-2ⁿ⁺¹．求证：{S_n-2ⁿ}为等比数列．

难度：较易

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